二 一般形式的柯西不等式 名稱(chēng)形式等號(hào)成立條件三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3R，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2當(dāng)且僅當(dāng)b1b2b30或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k使得aikbi(i1,2,3)一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)點(diǎn)睛一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類(lèi)比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方在使用時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式利用柯西不等式證明不等式例1設(shè)x1，x2，xn都是正數(shù)，求證：.思路點(diǎn)撥根據(jù)一般柯西不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造兩組數(shù)的積的形式，利用柯西不等式證明證明(x1x2xn)(1)2()2()22n2，.柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為：(a1a2an)(b1b2bn)()2.其中ai，biR(i1,2，n)，在使用柯西不等式時(shí)要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，正確地配湊出公式兩側(cè)的數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵1設(shè)a，b，c為正數(shù)，且不全相等求證：>.證明：構(gòu)造兩組數(shù)，；，則由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等號(hào)成立abbccaabc.因?yàn)閍，b，c不全相等，故中等號(hào)不成立，于是>.利用柯西不等式求最值例2(1)已知x，y，zR，且xyz1.求 的最小值；(2)設(shè)2x3y5z29，求函數(shù)的最大值思路點(diǎn)撥(1)利用(xyz)(2)利用()2(111)2.解(1)xyz1，(xyz)；2(123)236.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x，y，z時(shí)取等號(hào)所以的最小值為36.(2)根據(jù)柯西不等式，有(111)2(2x1)(3y4)(5z6)(111)3(2x3y5z11)340120.故2，當(dāng)且僅當(dāng)2x13y45z6，即x，y，z時(shí)等號(hào)成立此時(shí)max2.利用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件2已知x，y，zR，且x2y2z5，則(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是()A20B25C36 D47解析：選C(x5)2(y1)2(z3)212(2)222(x5)(2)(y1)2(z3)2324，當(dāng)且僅當(dāng)，即x3，y3，z1時(shí)取等號(hào)故(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是36.3若2x3y4z11，則x2y2z2的最小值為_(kāi)解析：2x3y4z11，由柯西不等式，得(x2y2z2)(4916)(2x3y4z)2，故x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y，z時(shí)取等號(hào)答案：4把一根長(zhǎng)為12 m的細(xì)繩截成三段，各圍成三個(gè)正方形問(wèn)：怎樣截法，才能使圍成的三個(gè)正方形面積之和S最小，并求此最小值解：設(shè)三段繩子的長(zhǎng)分別為x，y，z，則xyz12，三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，均為正數(shù)，三個(gè)正方形面積之和：S222(x2y2z2)(121212)(x2y2z2)(xyz)2122，即x2y2z248.從而S483.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又xyz12，xyz4時(shí)，Smin3.故把繩子三等分時(shí)，圍成的三個(gè)正方形面積之和最小，最小面積為3 m2.1已知a2b2c2d25，則abbccdad的最小值為()A5 B5C25 D25解析：選B(abbccdad)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時(shí)，等號(hào)成立abbccdbd的最小值為5.2已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2C3 D4解析：選A(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取等號(hào)a1x1a2x2anxn的最大值是1.3已知x，y，zR，且1，則x的最小值是()A5 B6C8 D9解析：選Dx 29，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立4設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則()A. B.C. D.解析：選C由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此有.5已知2x3yz8，則x2y2z2取得最小值時(shí)，x，y，z形成的點(diǎn)(x，y，z)_.解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)z時(shí)等號(hào)成立又2x3yz8，解得x，y，z，故所求點(diǎn)為.答案：6設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值是_解析：(abc)()2()2()22(236)2121.當(dāng)且僅當(dāng)k(k為正實(shí)數(shù))時(shí)，等號(hào)成立答案：1217已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足3x2yz1，則x22y23z2的最小值為_(kāi)解析：由柯西不等式，得x2(y)2(z)2(3x2yz)21，所以x22y23z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y，z時(shí)，等號(hào)成立，所以x22y23z2的最小值為.答案：8在ABC中，設(shè)其各邊長(zhǎng)為a，b，c，外接圓半徑為R，求證：(a2b2c2)36R2.證明：2R，(a2b2c2)236R2.9在直線5x3y2上求一點(diǎn)，使(x2y1)2(3xy3)2取得最小值解：由柯西不等式得(2212)(x2y1)2(3xy3)22(x2y1)(3xy3)2(5x3y1)29.(x2y1)2(3xy3)2.當(dāng)且僅當(dāng)x2y12(3xy3)即5x4y70時(shí)取等號(hào)解方程組得故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.10已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c為正實(shí)數(shù)，且m，求證：a2b3c9.解：(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，所以f(x2)0等價(jià)于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm，又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明：由(1)知1，所以a2b3c(a2b3c)29.