25.1離散型隨機變量的均值學習目標1.通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值.2.理解離散型隨機變量的均值的性質(zhì).3.掌握兩點分布、二項分布的均值.4.會利用離散型隨機變量的均值，反映離散型隨機變量的取值水平，解決一些相關的實際問題知識點一離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望設有12個西瓜，其中4個重5 kg,3個重6 kg,5個重7 kg.思考1任取1個西瓜，用X表示這個西瓜的重量，試問X可以取哪些值？思考2當X取上述值時，對應的概率分別是多少？思考3如何求每個西瓜的平均重量？梳理離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如下表：Xx1x2xnPp1p2pn(1)數(shù)學期望：E(X)_.(2)性質(zhì)pi0，i1,2，n；p1p2pn1.(3)數(shù)學期望的含義：它反映了離散型隨機變量取值的_知識點二兩點分布、超幾何分布、二項分布的均值1兩點分布：若X01分布，則E(X)_.2超幾何分布：若XH(n，M，N)，則E(X)_.3二項分布：若XB(n，p)，則E(X)_.類型一離散型隨機變量的均值例1某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分，假設這名同學回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響(1)求這名同學回答這三個問題的總得分X的概率分布和均值；(2)求這名同學總得分不為負分(即X0)的概率反思與感悟求隨機變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值(2)求出X取每個值的概率P(Xk)(3)寫出X的分布列(4)利用均值的定義求E(X)跟蹤訓練1在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10 000張彩票為一期)有200個獎品是5元，20個獎品是25元，5個獎品是100元在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？引申探究在重復5次投籃時，命中次數(shù)為Y，隨機變量5Y2.求E()例2某運動員投籃命中率為p0.6.(1)求投籃1次命中次數(shù)X的均值；(2)求重復5次投籃，命中次數(shù)Y的均值反思與感悟(1)常見的兩種分布的均值設p為一次試驗中成功的概率，則兩點分布E(X)p；二項分布E(X)np.熟練應用上述兩公式可大大減少運算量，提高解題速度(2)兩點分布與二項分布辨析相同點：一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生不同點：a隨機變量的取值不同，兩點分布隨機變量的取值為0,1，二項分布中隨機變量的取值X0,1,2，n.b試驗次數(shù)不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進行n次試驗跟蹤訓練2根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的均值例3一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球，其中有3個紅球和(n3)個白球已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是.不放回地從口袋中隨機取出3個球，求取到白球的個數(shù)的均值E()反思與感悟(1)超幾何分布模型一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中含有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.(2)超幾何分布均值的計算公式若一個隨機變量X的分布列服從超幾何分布，則E(X).跟蹤訓練3設在15個同類型的零件中有2個次品，每次任取1個，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的個數(shù)，求均值E(X)類型二均值的應用例4甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立，第1局甲當裁判(1)求第4局甲當裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求X的均值反思與感悟解答此類題目，應首先把實際問題概率模型化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有關的公式求出相應的概率及均值跟蹤訓練4某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的概率分布和均值1現(xiàn)有一個項目，對該項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元，1.18萬元，1.17萬元的概率分別為，.隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤，則X的均值為_2若p為非負實數(shù)，隨機變量的概率分布如下表：012Ppp則E()的最大值為_3設隨機變量XB(40，p)，且E(X)16，則p_.4袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標號(1)求的概率分布、均值；(2)若a4，E()1，求a的值1求離散型隨機變量的均值的步驟(1)確定離散型隨機變量X的取值(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否(3)根據(jù)公式寫出均值2若X、Y是兩個隨機變量，且YaXb，則E(Y)aE(X)b；如果一個隨機變量服從兩點分布或二項分布，可直接利用公式計算均值答案精析問題導學知識點一思考1X5,6,7.思考2P(X5)，P(X6)，P(X7).思考3567.梳理(1)x1p1x2p2xnpn(3)平均水平知識點二1p2.3.np題型探究例1解(1)X的可能取值為300，100,100,300.P(X300)0.230.008，P(X100)C0.80.220.096，P(X100)C0.820.210.384，P(X300)0.830.512，所以X的概率分布如下表：X300100100300P0.0080.0960.3840.512所以E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分)(2)這名同學總得分不為負分的概率為P(X0)P(X100)P(X300)0.3840.5120.896.跟蹤訓練1解設一張彩票的中獎額為隨機變量X，顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意X的概率分布如下表：X0525100P所以E(X)05251000.2，所以一張彩票的合理價格是0.2元例2解(1)投籃1次，命中次數(shù)X的概率分布如下表：X01P0.40.6則E(X)0.6.(2)由題意知，重復5次投籃，命中次數(shù)Y服從二項分布，即YB(5,0.6)，E(Y)np50.63.引申探究解E()E(5Y2)5E(Y)253217.跟蹤訓練2解設該車主購買乙種保險的概率為p，由題意知p(10.5)0.3，解得p0.6.(1)設所求概率為P1，則P11(10.5)(10.6)0.8.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8.(2)每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2)，E(X)1000.220.X的均值是20.例3解p，n5，5個球中有2個白球方法一白球的個數(shù)可取0,1,2.則P(0)，P(1)，P(2).E()012.方法二取到白球的個數(shù)服從參數(shù)為N5，M2，n3的超幾何分布，則E().跟蹤訓練3解方法一P(X0)，P(X1)，P(X2)，則E(X)012.方法二由題意可知，X服從N15，M2，n3的超幾何分布，E(X).例4解(1)記A1表示事件“第2局結果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽，結果為甲負”，A表示事件“第4局甲當裁判”則AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值為0,1,2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時，結果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結果為乙勝丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結果為乙負”則P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)，P(X2)P(1B3)P(1)P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2).跟蹤訓練4解(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個球是紅球，A2從乙箱中摸出的1個球是紅球，B1顧客抽獎1次獲一等獎，B2顧客抽獎1次獲二等獎，C顧客抽獎1次能獲獎由題意，A1與A2相互獨立，A12與1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.因為P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率為P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的概率分布如下表：X0123P故X的均值為E(X)3.當堂訓練11.182.3.0.44解(1)的概率分布如下表：01234P的均值為E()01234.(2)E()aE()41，又E()，則a41，a2.