第1講 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 二次函數(shù)是初中函數(shù)的主角，所蘊(yùn)含的函數(shù)性質(zhì)豐富，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)【知識(shí)梳理】1.二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：yax2bxc(a0).頂點(diǎn)式：ya(xm)2n(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f (x)的零點(diǎn).2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式y(tǒng)ax2bxc(a>0)yax2bxc(a<0)圖象對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對(duì)稱3.二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”。【高效演練】1. 拋物線 y ( x 2) 2 +3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. (2,3) B. (2,3) C. (2，3) D. (2，3)【解析】二次函數(shù) y a ( x h ) 2 + k ( a 0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( h ， k )，所以y ( x 2) 2 +3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，3)，故選：A.【答案】A2. 把拋物線 y x 2 向右平移1個(gè)單位，然后向下平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的表達(dá)式為（）A. y ( x 1) 2 +3 B. y ( x +1) 2 +3C. y ( x 1) 2 3 D. y ( x +1) 2 3【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律可知：把拋物線向右平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為：故選C.【答案】C3對(duì)于二次函數(shù)y=（x1）2+2的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A. 開(kāi)口向下B對(duì)稱軸是x=1C頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2） D與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)【解析】二次函數(shù)y=（x1）2+2的圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），對(duì)稱軸為直線x=1，拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)故選：C【答案】C4已知反比例函數(shù)y=（a0），當(dāng)x0時(shí)，它的圖象y隨x的增大而減小，那么二次函數(shù)y=ax2ax的圖象只可能是（）A BC D5如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是直線y=2與x軸之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M是拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)，則方程x2+bx+c=1的解的個(gè)數(shù)是（）A0或2 B0或1 C1或2 D0，1或2【解析】分三種情況：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)小于1，方程x2+bx+c=1的解是2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；點(diǎn)M的縱坐標(biāo)等于1，方程x2+bx+c=1的解是2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；點(diǎn)M的縱坐標(biāo)大于1，方程x2+bx+c=1的解的個(gè)數(shù)是0故方程x2+bx+c=1的解的個(gè)數(shù)是0，1或2故選：D【答案】D6若拋物線y=2x2mxm的對(duì)稱軸是直線x=2，則m=8【解析】由題意得，=2，解得m=8【答案】87. 已知拋物線 y ax 2 + bx + c ( a 0)的對(duì)稱軸為直線 x 1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1， y 1 )，(2， y 2 )，試比較 y 1 和 y 2 的大小： y 1 _ y 2 (填“”“”或“”)【解析】試題解析：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，而1-（-1）=2，2-1=1，點(diǎn)（-1，y1）離對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)（2，y2）要遠(yuǎn)，y1y2【答案】8如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），（0，2），則拋物線的對(duì)稱軸是；若y2，則自變量x的取值范圍是【解析】拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），對(duì)稱軸為x=；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，2），對(duì)稱軸為x=，拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），y2，則自變量x的取值范圍是 0x1，【答案】x=，0x19.某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)(1) 寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)與每件銷售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？10.在數(shù)學(xué)拓展課上，小明同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新函數(shù)y=x22|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下：【初步嘗試】求二次函數(shù)y=x22x的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；【類比探究】當(dāng)函數(shù)y=x22|x|時(shí)，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，下表為y與x的幾組對(duì)應(yīng)值x3210123y3010103根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)你畫出該函數(shù)圖象的另一部分；根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)【深入探究】若點(diǎn)M（m，y1）在圖象上，且y10，若點(diǎn)N（m+k，y2）也在圖象上，且滿足y23恒成立，求k的取值范圍【分析】利用配方法將y=x22x化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程x22x=0，求出x的值，即可得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；類比探究：根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線，即可畫出該函數(shù)圖象的另一部分；根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；深入探究：根據(jù)圖象可知y10時(shí)，2m2；y23時(shí)，m+k3或m+k3，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出k的取值范圍【解析】【初步嘗試】y=x22x=（x1）21，此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；令y=0，則x22x=0，解得x1=0，x2=2，此拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（2，0）；【類比探究】如圖所示：函數(shù)圖象的性質(zhì)：1圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；2當(dāng)x取1或1時(shí)，函數(shù)有最小值1；【深入探究】根據(jù)圖象可知，當(dāng)y10時(shí)，2m2，當(dāng)y23時(shí)，m+k3或m+k3，則k5或k5故k的取值范圍是k5或k5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵11. 【問(wèn)題情境】已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a0），當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最??？最小值是多少？【數(shù)學(xué)模型】設(shè)該矩形的長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=2（x+）（x0）【探索研究】小彬借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)y=x+的圖象性質(zhì)（1）結(jié)合問(wèn)題情境，函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是x0，下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值x123my4322234寫出m的值；畫出該函數(shù)圖象，結(jié)合圖象，得出當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值，y最小=2；提示：在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的最大（小）值時(shí)，除了通過(guò)觀察圖象，還可以通過(guò)配方得到試用配方法求函數(shù)y=x+（x0）的最小值，解決問(wèn)題（2）【解決問(wèn)題】（2）直接寫出“問(wèn)題情境”中問(wèn)題的結(jié)論【分析】（1）由題意可得m=4；根據(jù)圖象所反映的特點(diǎn)寫出即可；根據(jù)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，進(jìn)行配方即可得到最小值；（2）根據(jù)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，進(jìn)行配方得到y(tǒng)=2（）2+2 ，即可求出答案；【解析】（1）由題意m=4函數(shù)y=x+的圖象如圖：觀察圖象可知，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=x+（x0）的最小值是2 故答案為1，2y=x+=+2x0，所以 0，所以當(dāng)x=1時(shí)，的最小值為0，函數(shù)y=x+（x0）的最小值是2（2）y=2（）2+2 =2（）2+4，當(dāng)=時(shí)，y的值最小，最小值為4，當(dāng)x=時(shí)，y的值最小，最小值為4，答：矩形的面積為a（a為常數(shù)，a0），當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為 時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是4 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)完全平方公式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用學(xué)過(guò)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵