26.3曲線的交點(diǎn)給出下列兩組直線，回答問題(1)l1：x2y0，l2：2x4y30；(2)l1：2xy0，l2：3xy70.問題1：兩組直線的位置關(guān)系提示：(1)平行；(2)相交問題2：如何判斷它們的位置關(guān)系？能否用這種方法來判定兩條曲線的位置關(guān)系？提示：兩直線位置關(guān)系的判斷可有兩種方法：一是利用斜率；二是兩方程聯(lián)立，利用方程的解來判定第二種方法可以用來判定兩曲線的位置關(guān)系問題3：如何求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)提示：把表示曲線的方程聯(lián)立，解方程組，其解即為曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)已知曲線C1：f1(x，y)0和C2：f2(x，y)0.(1)P0(x0，y0)是C1和C2的公共點(diǎn) (2)求兩曲線的交點(diǎn)，就是求方程組的實(shí)數(shù)解(3)方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，兩條曲線就沒有公共點(diǎn)直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得方程ax2bxc0方程特征交點(diǎn)個(gè)數(shù)位置關(guān)系直線與橢圓a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與雙曲線a01直線與雙曲線的漸近線平行，兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與拋物線a01直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1已知直線l：kxy20，雙曲線C：x24y24，當(dāng)k為何值時(shí)：(1)l與C無公共點(diǎn)；(2)l與C有惟一公共點(diǎn)；(3)l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)思路點(diǎn)撥直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是直線與圓錐曲線方程所組成的方程組解的個(gè)數(shù)，從而問題可轉(zhuǎn)化為由方程組的解的個(gè)數(shù)來確定參數(shù)k的取值精解詳析將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，得(14k2)x216kx200.當(dāng)14k20時(shí)，有(16k)24(14k2)(20)16(54k2)(1)當(dāng)14k20且0，即k或k時(shí)，l與C無公共點(diǎn)(2)當(dāng)14k20，即k時(shí)，顯然方程只有一解當(dāng)14k20，0，即k時(shí)，方程只有一解故當(dāng)k或k時(shí)，l與C有惟一公共點(diǎn)(3)當(dāng)14k20，且0時(shí)，即k，且k時(shí)，方程有兩解，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)一點(diǎn)通直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：>0直線與圓錐曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)；0直線與圓錐曲線相交于一個(gè)點(diǎn)；<0直線與圓錐曲線無交點(diǎn)1對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系解：由消去y得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)當(dāng)<m<時(shí)，>0，直線與橢圓相交；當(dāng)m或m時(shí)，0，直線與橢圓相切；當(dāng)m<或m>時(shí)，<0，直線與橢圓相離2已知拋物線的方程為y24x，直線l過定點(diǎn)P(2,1)，斜率為k，k為何值時(shí)，直線l與拋物線y24x只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？解：(1)當(dāng)k0時(shí)，直線l與x軸平行，易知與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)(2)當(dāng)k0時(shí)，聯(lián)立消去x，得ky24y4(2k1)0，164k4(2k1)當(dāng)0，即k1或時(shí)，直線l與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)>0，即1<k<且k0時(shí)，直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)<0，即k<1或k>時(shí)，直線l與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)綜上：當(dāng)k1或或0時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1<k<，且k0時(shí)，直線l與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k<1或k>時(shí)，直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)直線被圓錐曲線截得的弦長問題例2已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓1的右焦點(diǎn)F1，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長思路點(diǎn)撥先求出直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式，也可以從公式上考查A、B坐標(biāo)間的聯(lián)系，進(jìn)行整體運(yùn)算精解詳析法一：直線l過橢圓1的右焦點(diǎn)F1(1,0)，又直線的斜率為2.直線l的方程為y2(x1)，即2xy20.由方程組得交點(diǎn)A(0，2)，B.則AB .法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B的坐標(biāo)為方程組的公共解對(duì)方程組消去y，得3x25x0.則x1x2，x1x20.AB .法三：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得3x25x0，則x1，x2是方程3x25x0的兩根x1x2.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得AF1(5x1)，F(xiàn)1B(5x2)，則ABAF1F1B10(x1x2).一點(diǎn)通弦長的求法：(1)求出端點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用變形公式l或l求解(3)利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解3過拋物線y28x的焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為_解析：由拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，得直線的方程為yx2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.x1x212，弦長x1x2p12416.答案：164直線y2x3與雙曲線y21相交于兩點(diǎn)A、B，則AB_.解析：設(shè)直線y2x3與雙曲線y21兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)由得7x224x200，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.答案：5如圖，橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條直線l經(jīng)過F1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為45，求ABF2的面積解：由橢圓的方程1知，a4，b3，c.由c知F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，又直線l的斜率ktan 451，直線l的方程為xy0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由消去x，整理得25y218 y810，y1y2，y1y2.|y1y2| ，SABF2|F1F2|y1y2|2 .兩曲線相交的綜合問題例3已知橢圓1，過點(diǎn)P(2,1)作一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線方程思路點(diǎn)撥設(shè)出直線的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得關(guān)于x的方程，用根與系數(shù)的關(guān)系和弦中點(diǎn)坐標(biāo)，得斜率的方程，求解即可，也可用“點(diǎn)差法”求解精解詳析法一：設(shè)所求直線的方程為y1k(x2)，代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1，x2是上面的方程的兩個(gè)根，所以x1x2，因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn)，所以2，解得k，所以所求直線的方程為x2y40.法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn)，所以x1x24，y1y22，又因?yàn)锳，B在橢圓上，所以x4y16，x4y16，兩式相減，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以，即kAB.所以所求直線的方程為y1(x2)，即x2y40.一點(diǎn)通解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般采用“設(shè)而不求”的思想，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，把已知條件轉(zhuǎn)化為弦的端點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系求解，在涉及“中點(diǎn)弦”問題時(shí)，“點(diǎn)差法”是最常用的方法6已知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)求證：(1)x1x2為定值；(2)為定值證明：(1)拋物線y22px的焦點(diǎn)為F，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x)(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2(定值)當(dāng)ABx軸時(shí)，x1x2，x1x2也成立(2)由拋物線的定義知，F(xiàn)Ax1，F(xiàn)Bx2.(定值)7設(shè)雙曲線C：y21(a0)與直線l：xy1相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B.(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，若，求a的值解：(1)將yx1代入雙曲線y21(a0)中得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a，且a1.又雙曲線的離心率e，所以e，且e.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因?yàn)?，所?x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的兩根，且1a20，所以x2，x.消去x2，得.由a0，解得a.8(陜西高考)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明：直線l過定點(diǎn)解： (1)如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x，y)，由題意得，O1AO1M.當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，O1M ，又O1A ， ，化簡得y28x(x0)當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y28x，動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明：如圖，由題意，設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，將代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時(shí)>0，直線l的方程為yk(x1)，直線l過定點(diǎn)(1,0)討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程，消去x或y，得出一個(gè)一元二次方程，通過研究判別式的情況，研究位置關(guān)系，值得注意的是，若是直線與圓或橢圓時(shí)，無需討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零(一定不為零)，直接考察的情況即可若是直線與雙曲線或拋物線時(shí)，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況這是特別要注意的問題同時(shí)還要注意直線斜率不存在時(shí)的情形對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十七) 1曲線x2xyy23x4y40與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_解析：當(dāng)y0時(shí)，得x23x40，解得x14或x21.所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)和(1,0)答案：(4,0)，(1,0)2曲線x2y24與曲線x21的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析：由數(shù)形結(jié)合可知兩曲線有4個(gè)交點(diǎn)答案：43設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_解析：由y28x，得準(zhǔn)線方程為x2.則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)設(shè)直線yk(x2)由得k2x2(4k28)x4k20.若直線l與y28x有公共點(diǎn)，則(4k28)216k40.解得1k1.答案：1,14曲線yx2x2和yxm有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的范圍是_解析：由消去y，得x22x2m0.若有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則44(2m)>0，m>1.答案：(1，)5如果橢圓1的一條弦被點(diǎn)(4,2)平分，那么這條弦所在直線的方程是_解析：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)P(4,2)為AB中點(diǎn)，x1x28，y1y24.又A，B在橢圓上，x4y36，x4y36.兩式相減得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，.即直線l的斜率為.所求直線方程為x2y80.答案：x2y806已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)為A(2，1)，求直線l的方程解：(1)由題意2a4，a2，又e，c.b2a2c2835.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，過A點(diǎn)的直線必與橢圓有兩交點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，A點(diǎn)不可能為弦的中點(diǎn)，故可設(shè)直線方程為y1k(x2)，它與橢圓的交點(diǎn)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則消去y得(8k25)x216k(2k1)x8(2k1)250，x1x2，又A(2，1)為弦MN的中點(diǎn)，x1x24，即4，k，從而直線方程為5x4y140.7已知橢圓C1與拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x324y204(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)請(qǐng)問是否存在直線l滿足條件：過C2的焦點(diǎn)F；與C1交于不同兩點(diǎn)M，N且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解：(1)設(shè)拋物線C2：y22px(p0)，則有2p(x0)，據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知(3，2)，(4，4)在拋物線上，易求C2：y24x.設(shè)C1：1(a>b>0)，把點(diǎn)(2,0)，代入得解得C1的方程為y21.(2)容易驗(yàn)證直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)其方程為yk(x1)，與C1的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1k2. 由，即0，得x1x2y1y20. 將代入式得，0，解得k2.所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y2x2或y2x2.8已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)由題意設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由題意得ac3，ac1，a2，c1，b23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)>0，即34k2m2>0.x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0)，kADkBD1，1，化簡得y1y2x1x22(x1x2)40，即40，化簡得7m216mk4k20，解得m12k，m2，且滿足34k2m2>0.當(dāng)m2k時(shí)，l：yk(x2)，直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾；當(dāng)m時(shí)，l：yk，直線過定點(diǎn).綜上可知，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.