第二章 隨機(jī)變量及其分布質(zhì)量檢測(二) (時間90分鐘滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下：0123Pp則p的值為()A. B. C. D.解析因為p1，所以p，故選A.答案A2正態(tài)分布N1(1，)，N2(2，)，N3(3，)(其中1，2，3均大于0)所對應(yīng)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A1最大，1最大 B3最大，3最大C1最大，3最大 D3最大，1最大解析在正態(tài)曲線N(，2)中，x為正態(tài)曲線的對稱軸，結(jié)合圖象可知，3最大；又參數(shù)確定了曲線的形式：越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“瘦高”故由圖象知1最大故選D.答案D3某同學(xué)通過計算機(jī)測試的概率為，他連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為()A. B. C. D.解析連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為C2.答案A4將一個骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為()A. B. C. D.解析總數(shù)為63216，滿足要求的點(diǎn)為(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,3,5)，(2,4,6)，同時公差可以為負(fù)，故還需乘以2，還有6個常數(shù)列，故P.答案B5已知隨機(jī)變量XB，則D(2X1)等于()A6 B4 C3 D9解析D(2X1)D(X)224D(X)，D(X)6，D(2X1)46.答案A6甲、乙兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)事件A：甲實習(xí)生加工的零件為一等品，事件B：乙實習(xí)生加工的零件為一等品，則P(A)，P(B)，所以這兩個零件中恰有一個一等品的概率為P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).答案B7設(shè)隨機(jī)變量XN(，2)且P(X<1)，P(X>2)p，則P(0<X<1)的值為()A.p B1pC12p D.p解析由正態(tài)曲線的對稱性知P(X<1)，故1，即正態(tài)曲線關(guān)于直線x1對稱，于是P(X<0)P(X>2)，所以P(0<X<1)P(X<1)P(X<0)P(X<1)P(X>2)p.答案D8甲、乙、丙三位學(xué)生用計算機(jī)聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天上課后獨(dú)立完成6道自我檢測題，甲及格的概率為，乙及格的概率為，丙及格的概率為，三人各答一次則三人中只有1人及格的概率為()A. B.C. D以上都不對解析利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生及互斥事件有一個發(fā)生的概率公式可得所求概率為：.答案C9有10件產(chǎn)品，共中3件是次品，從中任取2件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)等于()A. B. C. D.解析X的所有可能取值是0,1,2.則P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列為X012P于是E(X)012，D(X)222.答案D10已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i1,2)個球放入甲盒中(a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為i(i1,2)；(b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i1,2)，則()Ap1>p2，E(1)<E(2) Bp1<p2，E(1)>E(2)Cp1>p2，E(1)>E(2) Dp1<p2，E(1)<E(2)解析解法一：(特值法)取mn3進(jìn)行計算，比較即可解法二：(標(biāo)準(zhǔn)解法)從乙盒中取1個球時，取出的紅球的個數(shù)記為，則的所有可能取值為0,1，則P(0)P(11)，P(1)P(12)，所以E(1)1P(11)2P(12)1，所以p1；從乙盒中取2個球時，取出的紅球的個數(shù)記為，則的所有可能取值為0,1,2，則P(0)P(21)，P(1)P(22)，P(2)P(23)，所以E(2)1P(21)2P(22)3P(23)1，所以p2，所以p1>p2，E(1)<E(2)故選A.答案A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中橫線上)11已知甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別為0.6,0.5，若目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率是_解析令事件A，B分別表示甲、乙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)，由題意可知P(A)0.6，P(B)0.5，令事件C表示目標(biāo)被擊中，則CAB，則P(C)1P()P()10.40.50.8，所以P(A|C)0.75.答案0.7512一支足球隊每場比賽獲勝(得3分)的概率為a，與對手踢平(得1分)的概率為b，負(fù)于對手(得0分)的概率為c(a，b，c均屬于(0,1)已知該足球隊進(jìn)行一場比賽得分的均值是1，則的最小值為_解析因為該足球隊進(jìn)行一場比賽得分的均值是1，所以3ab1，所以(3ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號答案13在一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標(biāo)注數(shù)字0，兩個面上標(biāo)注數(shù)字1，一個面上標(biāo)注數(shù)字2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的均值是_解析設(shè)X表示兩次向上的數(shù)之積，則P(X1)，P(X2)C，P(X4)，P(X0)，E(X)124.答案14一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列結(jié)論：從中任取3球，恰有一個白球的概率是；從中有放回地取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為；現(xiàn)從中不放回地取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；從中有放回地取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為.其中所有正確結(jié)論的序號是_解析恰有一個白球的概率P，故正確；每次任取一球，取到紅球次數(shù)XB，其方差為6，故正確；設(shè)A第一次取到紅球，B第二次取到紅球，則P(A)，P(AB)，所以P(B|A)，故錯；每次取到紅球的概率P，所以至少有一次取到紅球的概率為13，故正確答案三、解答題(本大題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15(12分)在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似地服從正態(tài)分布N(70,100)已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有12人(1)試問此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為多少人？(2)若成績在80分以上(含80分)為優(yōu)，試問此次競賽成績?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為多少人？解(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績?yōu)閄，因為XN(70,100)，所以70，10.則P(X90)P(X50)1P(50<X<90)1P(2<X<2)(10.9544)0.0228,120.0228526(人)因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為526人(2)由P(X80)P(X60)1P(60<X<80)1P(<X<)(10.6826)0.1587，得5260.158783.因此，此次競賽成績?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為83人16(12分)一個袋子內(nèi)裝有若干個黑球、3個白球、2個紅球(所有的球除顏色外其他均相同)，從中一次性任取2個球，每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，用隨機(jī)變量表示取2個球的總得分，已知得0分的概率為.(1)求袋子內(nèi)黑球的個數(shù)；(2)求的分布列與均值解(1)設(shè)袋中黑球的個數(shù)為n，由條件知，當(dāng)取得2個黑球時得0分，概率為P(0)，化簡得n23n40，解得n4或n1(舍去)，即袋子中有4個黑球(2)的所有可能取值為0,1,2,3,4，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，的分布列為01234PE()01234.17(12分)甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號召，決定各購置一輛純電動汽車經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動汽車，按續(xù)駛里程數(shù)R(單位：千米)可分為三類車型，A：80R<150，B：150R<250，C：R250.甲從A，B，C三類車型中挑選一款，乙從B，C兩類車型中挑選一款，甲、乙二人選擇各類車型的概率如下表：車型人ABC甲pq乙若甲、乙都選C類車型的概率為.(1)求p，q的值(2)求甲、乙選擇不同車型的概率(3)某市對購買純電動汽車進(jìn)行補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：車型ABC補(bǔ)貼金額(萬元/輛)345記甲、乙兩人購車所獲得的財政補(bǔ)貼和為X，求X的分布列解(1)由題意可得解得(2)設(shè)“甲、乙選擇不同車型”為事件A，分甲選車型A，甲選車型B、乙選車型C，甲選車型C、乙選車型B三種情況，故P(A).所以甲、乙選擇不同車型的概率是.(3)X的所有可能取值為7,8,9,10.P(X7)，P(X8)，P(X9)，P(X10).所以X的分布列為X78910P18.(14分)某校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實驗操作規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可通過已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響，求：(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學(xué)期望；(2)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的實驗操作能力解(1)設(shè)考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)分別為、，則取值分別為1,2,3；取值分別為0,1,2,3.P(1)，P(2)，P(3).考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為123PE()1232.P(0)C3，P(1)，P(2)，P(3).考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為0123PE()01232.(2)D()(21)2(22)2(23)2，D()(20)2(21)2(22)2(23)2.D()<D()P(2)0.8，P(2)0.74，P(2)>P(2)從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；從做對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大因此可以判斷甲的實驗操作能力較強(qiáng)