1.3.1二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念思考1我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(ab)2a22abb2，試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)(ab)3，(ab)4的展開(kāi)式答案(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2能用類比方法寫(xiě)出(ab)n(nN*)的展開(kāi)式嗎？答案能，(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN*)梳理二項(xiàng)式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)C(k0,1，n)通項(xiàng)Tk1Cankbk二項(xiàng)式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn1(ab)n展開(kāi)式中共有n項(xiàng)()2在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒(méi)有影響()3Cankbk是(ab)n展開(kāi)式中的第k項(xiàng)()4(ab)n與(ab)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)相同()類型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用例1(1)求4的展開(kāi)式考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)運(yùn)用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式解方法一4(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.方法二44(13x)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)化簡(jiǎn)：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)解原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.引申探究若(1)4ab(a，b為有理數(shù))，則ab_.答案44解析(1)41C()1C()2C()3C()414181292816，a28，b16，ab281644.反思與感悟(1)(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式有n1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：各項(xiàng)的次數(shù)和等于n；字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)解原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.類型二二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用例2已知二項(xiàng)式10.(1)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的系數(shù)；(3)求第4項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)解10的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tk1C(3)10kkC310kk (k0,1,2，10)(1)展開(kāi)式的第4項(xiàng)(k3)的二項(xiàng)式系數(shù)為C120.(2)展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C37377 760.(3)展開(kāi)式的第4項(xiàng)為T4T3177 760.反思與感悟(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)C(k0,1,2，n)，它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念(2)第k1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.例如，在(12x)7的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)是T4C173(2x)3，其二項(xiàng)式系數(shù)是C35，而第四項(xiàng)的系數(shù)是C23280.跟蹤訓(xùn)練2已知n展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162.(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)解(1)因?yàn)門3C()n224C，T2C()n12C，依題意得4C2C162，所以2CC81，所以n281，nN*，故n9.(2)設(shè)第k1項(xiàng)含x3項(xiàng)，則Tk1C()9kk(2)kC，所以3，k1，所以第二項(xiàng)為含x3的項(xiàng)為T22Cx318x3.二項(xiàng)式系數(shù)為C9.例3已知在n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)解通項(xiàng)公式為Tk1C(3)kC(3)k.(1)第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)k5時(shí)，有0，即n10.(2)令2，得k(106)2，所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意得，令t(tZ)，則102k3t，即k5t.kN，t應(yīng)為偶數(shù)令t2,0，2，即k2,5,8.第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，61 236,295 245x2.反思與感悟(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型求第k項(xiàng)，TkCank1bk1；求含xk的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；求常數(shù)項(xiàng)；求有理項(xiàng)(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解；對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致跟蹤訓(xùn)練3(1)若9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是84，則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案1解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk1Cx9k(a)kkC(a)kx92k(0k9，kN)當(dāng)92k3時(shí)，解得k3，代入得x3的系數(shù)，根據(jù)題意得C(a)384，解得a1.(2)已知n為等差數(shù)列4，2,0，的第六項(xiàng)，則n的二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是_考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)答案160解析由題意得n6，Tk12kCx62k，令62k0得k3，常數(shù)項(xiàng)為C23160.1(x2)n的展開(kāi)式共有11項(xiàng)，則n等于()A9 B10 C11 D8考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案B解析因?yàn)?ab)n的展開(kāi)式共有n1項(xiàng)，而(x2)n的展開(kāi)式共有11項(xiàng)，所以n10，故選B.212C4C8C(2)nC等于()A1 B1 C(1)n D3n考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)答案C解析逆用二項(xiàng)式定理，將1看成公式中的a，2看成公式中的b，可得原式(12)n(1)n.3.n的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則n的值為()A3 B4 C5 D6考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案D解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk1C(x2)nk(1)kk(1)kCx2n3k.令2n3k0，得nk(n，kN*)，若k2，則n3不符合題意，若k4，則n6，此時(shí)(1)4C15，所以n6.4在24的展開(kāi)式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有()A3項(xiàng) B4項(xiàng) C5項(xiàng) D6項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)答案C解析24的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk1C()24kkC，故當(dāng)k0,6,12,18,24時(shí)，冪指數(shù)為整數(shù)，共5項(xiàng)5求二項(xiàng)式()9展開(kāi)式中的有理項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)解Tk1C(1)kC，令Z(0k9)，得k3或k9，所以當(dāng)k3時(shí)，4，T4(1)3Cx484x4，當(dāng)k9時(shí)，3，T10(1)9Cx3x3.綜上，展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為84x4與x3.1注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念2要牢記Cankbk是展開(kāi)式的第k1項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第k項(xiàng)3求解特定項(xiàng)時(shí)必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定值一、選擇題1S(x1)44(x1)36(x1)24x3，則S等于()Ax4 Bx41C(x2)4 Dx44考點(diǎn)二項(xiàng)式定理題點(diǎn)逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡(jiǎn)答案A解析S(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)14x4，故選A.2設(shè)i為虛數(shù)單位，則(1i)6展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為()A20i B15iC20 D15考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)答案D解析(1i)6展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為Ci215.3(xy)10的展開(kāi)式中x6y4的系數(shù)是()A840 B840C210 D210考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)答案B解析在通項(xiàng)公式Tk1C(y)kx10k中，令k4，即得(xy)10的展開(kāi)式中x6y4的系數(shù)為C()4840.4在n的展開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為60，則n等于()A3 B6C9 D12考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案B解析Tk1C()nkk2kC.令0，得n3k.根據(jù)題意有2kC60，驗(yàn)證知k2，故n6.5若(13x)n(nN*)的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則第四項(xiàng)的系數(shù)為()A4 B27C36 D108考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)答案D解析Tk1C(3x)k，由C6，得n4，從而T4C(3x)3，故第四項(xiàng)的系數(shù)為C33108.6在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，若前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()A5 B4C3 D2考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)答案C解析二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，C，C2，由其成等差數(shù)列，可得2C1C2n1，所以n8(n1舍去)所以展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk1Ck.若為有理項(xiàng)，則有4Z，所以k可取0,4,8，所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3.7設(shè)函數(shù)f(x)則當(dāng)x>0時(shí)，f(f(x)表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A4 B6C8 D10考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)答案B解析依據(jù)分段函數(shù)的解析式，得f(f(x)f()4，Tk1C(1)kxk2.令k20，則k2，故常數(shù)項(xiàng)為C(1)26.二、填空題8.7的展開(kāi)式中倒數(shù)第三項(xiàng)為_(kāi)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)答案解析由于n7，可知展開(kāi)式中共有8項(xiàng)，倒數(shù)第三項(xiàng)即為第六項(xiàng)，T6C(2x)25C22.9若(x1)nxnax3bx2nx1(nN*)，且ab31，那么n_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案11解析aC，bC.ab31，即3，解得n11.10已知正實(shí)數(shù)m，若x10a0a1(mx)a2(mx)2a10(mx)10，其中a8180，則m的值為_(kāi)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案2解析由x10m(mx)10，m(mx)10的二項(xiàng)展開(kāi)式的第9項(xiàng)為Cm2(1)8(mx)8，a8Cm2(1)8180，則m2.又m>0，m2.11使n(nN*)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為_(kāi)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案5解析展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tk1C(3x)nkk，Tk13nkC，k0,1,2，n.令nk0，nk，故最小正整數(shù)n5.三、解答題12若二項(xiàng)式6(a>0)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，且B4A，求a的值考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)解Tk1Cx6kk(a)kC，令63，則k2，得ACa215a2；令60，則k4，得BCa415a4.由B4A可得a24，又a>0，a2.13已知在n的展開(kāi)式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：(1)n的值；(2)展開(kāi)式中x5的系數(shù)；(3)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)解已知二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk1Cnkk(1)knkC.(1)因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)k8時(shí)，2nk0，解得n10.(2)令210k5，得k(205)6.所以x5的系數(shù)為(1)64C.(3)要使2nk，即為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k0,1,2,3，9,10，故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開(kāi)式的第1,3,5,7,9,11項(xiàng)四、探究與拓展14設(shè)a0，n是大于1的自然數(shù)，n的展開(kāi)式為a0a1xa2x2anxn.若點(diǎn)Ai(i，ai) (i0,1,2)的位置如圖所示，則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案3解析由題意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)即a01，a13，a24.由n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式知Tk1Ck(k0,1,2，n)故3，4，解得a3.15設(shè)f(x)(1x)m(1x)n的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是19(m，nN*)(1)求f(x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值；(2)當(dāng)f(x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值時(shí)，求f(x)的展開(kāi)式中含x7項(xiàng)的系數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題題點(diǎn)求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)解(1)由題設(shè)知mn19，所以m19n，含x2項(xiàng)的系數(shù)為CCCCn219n1712.因?yàn)閚N*，所以當(dāng)n9或n10時(shí)，x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值為281.(2)當(dāng)n9，m10或n10，m9時(shí)，x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，此時(shí)x7項(xiàng)的系數(shù)為CCCC156.