第19講　直角三角形與勾股定理 基礎(chǔ)滿分　考場(chǎng)零失誤 1.(xx湖南長(zhǎng)沙,11,3分)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題目:“問(wèn)有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長(zhǎng)分別為5里,12里,13里,問(wèn)這塊沙田面積有多大?題中的“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位,1里=500米,則該沙田的面積為() A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 2.(xx溫州)我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積 為(　　) A.20 B.24 C.994D.532 3.(xx棗莊)下圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA、PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是() A.2 B.3 C.4 D.5 4.(xx南京,5,2分)如圖,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長(zhǎng)為() A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 5.(xx吉林,11,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(0,3),以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為　　　　. 6.(xx黔南州)如圖,已知在△ABC中,BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點(diǎn)F,且∠BAC=45,BD=6,CD=4,則△ABC的面積為. 7.(xx臺(tái)灣)嘉嘉參加機(jī)器人設(shè)計(jì)活動(dòng),需操控機(jī)器人在55的方格棋盤上從A點(diǎn)行走至B點(diǎn),且每個(gè)小方格皆為正方形,主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R1,R2,R3,其行經(jīng)位置如圖與表所示: 路徑 編號(hào) 圖例 行徑位置 第一條路徑 R1 - A→C→D→B 第二條路徑 R2 … A→E→D→F→B 第三條路徑 R3 ▂ A→G→B 已知A、B、C、D、E、F、G七點(diǎn)皆落在格線的交點(diǎn)上,且兩點(diǎn)之間的路徑皆為直線,在無(wú)法使用任何工具測(cè)量的條件下,請(qǐng)判斷R1、R2、R3這三條路徑中,最長(zhǎng)與最短的路徑分別為何?請(qǐng)寫(xiě)出你的答案,并說(shuō)明理由. 8.(xx杭州,21,10分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90,以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交線段AB于點(diǎn)D;以點(diǎn)A為圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交線段AC于點(diǎn)E,連接CD. (1)若∠A=28,求∠ACD的度數(shù); (2)設(shè)BC=a,AC=b. ①線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根嗎?說(shuō)明理由; ②若AD=EC,求ab的值. 能力升級(jí)　提分真功夫 　　　　　　　　　　　　 　　　　　 9.(xx南充)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠A=30,D,E,F分別為AB,AC,AD的中點(diǎn),若BC=2,則EF的長(zhǎng)度為() A.12B.1C.32D.3 10.(xx淄博)如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長(zhǎng)為() A.4 B.6 C.43 D.8 11.(xx東營(yíng))如圖所示,圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食,則它爬行的最短距離是() A.31+πB.32C.34+π22D.31+π2 12.(xx湖北黃岡,5,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=() A.2 B.3 C.4 D.23 13.(xx南通)如圖,△ABC中,AB=6 cm,AC=42 cm,BC=25 cm,點(diǎn)P以1 cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BA→AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s,點(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn). (1)若CP⊥AB,求t的值; (2)若△BCQ是直角三角形,求t的值; (3)設(shè)△CPQ的面積為S(cm2),求S(cm2)與t(s)的關(guān)系式,并寫(xiě)出t的取值范圍. 14.(xx揚(yáng)州) 問(wèn)題呈現(xiàn) 如圖1,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點(diǎn)D,N和E,C,DN和EC相交于點(diǎn)P,求tan∠CPN的值. 方法歸納 求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個(gè)直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的∠CPN不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫(huà)平行線等方法解決此類問(wèn)題,比如連接格點(diǎn)M,N,可得MN∥EC,則∠DNM=∠CPN,連接DM,那么∠CPN就變換到Rt△DMN中. 問(wèn)題解決 (1)直接寫(xiě)出圖1中tan∠CPN的值為; (2)如圖2,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點(diǎn)P,求cos∠CPN的值; 思維拓展 (3)如圖3,AB⊥BC,AB=4BC,點(diǎn)M在AB上,且AM=BC,延長(zhǎng)CB到N,使BN=2BC,連接AN交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù). 預(yù)測(cè)猜押　把脈新中考 　　　　　　　　　　　　 　　　　　 15.(2019改編預(yù)測(cè))如圖,已知∠ACB=90,AC>BC,分別以△ABC的邊AB,BC,CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE,正方形BCMN,正方形CAFG,連接EF,GM,設(shè)△AEF,△CGM的面積分別為S1,S2,則下列結(jié)論正確的是　() A.S1=S2 B.S1<S2 C.S1>S2 D.S1≤S2 16.(2019改編預(yù)測(cè))已知Word文本中的圖形,在圖形的格式中大小菜單下顯示有圖形的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度,同一個(gè)圖形隨其放置方向的變化,所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度也隨之變化.如圖①、②、③是同一個(gè)三角形以三條不同的邊水平放置時(shí),它們所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度如下表,現(xiàn)有△ABC,已知AB=AC,當(dāng)它以底邊BC水平放置時(shí)(如圖④),它所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度如下表,那么當(dāng)△ABC以腰AB水平放置時(shí)(如圖⑤),它所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度分別 是() 圖形 圖① 圖② 圖③ 圖④ 圖⑤ 絕對(duì)高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ? 絕對(duì)寬度 2.00 1.50 2.50 3.60 ? A.3.60和2.40 B.2.56和3.00 C.2.56和2.88 D.2.88和3.00 17.閱讀下面的情景對(duì)話,然后解答問(wèn)題: 老師:我們新定義一種三角形,兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形. 小華:等邊三角形一定是奇異三角形! 小明:那直角三角形是否存在奇異三角形呢? (1)根據(jù)“奇異三角形”的定義,請(qǐng)你判斷小華提出的命題:“等邊三角形一定是奇異三角形”是命題(填“真”或“假”); (2)在Rt△ABC中,兩邊長(zhǎng)分別是a=52、c=10,這個(gè)三角形是不是“奇異三角形”?請(qǐng)說(shuō)明理由.  答案精解精析 基礎(chǔ)滿分 1.A　2.B　3.B　4.D　 5.答案　(-1,0) 6.答案　60 7.解析　設(shè)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,第一條路徑的長(zhǎng)度為12+32+12+12+12+32=210+2, 第二條路徑的長(zhǎng)度為12+12+12+32+1+12+22=2+10+5+1, 第三條路徑的長(zhǎng)度為42+22+12+32=25+10, ∵25+10<210+2<2+10+5+1, ∴最長(zhǎng)路徑為A→E→D→F→B,最短路徑為A→G→B. 8.解析　(1)∵∠ACB=90,∠A=28, ∴∠B=62, 由題意知BD=BC, ∴∠BCD=∠BDC=59, ∴∠ACD=90-∠BCD=31. (2)①線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根.理由如下: 由勾股定理得AB=AC2+BC2=a2+b2, ∴AD=a2+b2-a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x=-2a4a2+4b22=a2+b2-a, ∴線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax-b2=0的一個(gè)根. ②∵AD=AE,AD=EC, ∴AE=EC=b2, 由勾股定理得a2+b2=12b+a2,整理得ab=34. 能力升級(jí) 9.B　10.B　11.C　12.C　 13.解析　(1)如圖1中,作CH⊥AB于H.設(shè)BH=x cm, ∵CH⊥AB, ∴∠CHB=∠CHA=90, ∴AC2-AH2=BC2-BH2, ∴(42)2-(6-x)2=(25)2-x2, 解得x=2, ∴當(dāng)點(diǎn)P與H重合時(shí),CP⊥AB,此時(shí)t=2. (2)如圖2中,當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí),BP=2BQ=4 cm,此時(shí)t=4. 如圖3中,當(dāng)CP=CB=25 cm時(shí),CQ⊥PB,此時(shí)t=6+(42-25)=6+42-25. (3)S=t,0≤t≤6,-324t+6+922,6<t<6+42. 14.解析　(1)2. (2)如圖,取格點(diǎn)D,連接CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM, 易知△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=∠CDM=45,∴cos∠CPN=cos∠DCM=22. (3)如圖,取格點(diǎn)M,連接AM、MN.∵PC∥MN,∴∠CPN=∠ANM, ∵AM=MN,∠AMN=90,∴∠ANM=∠MAN=45,∴∠CPN=45. 預(yù)測(cè)猜押 15.A　16.D　 17.解析　(1)真. 設(shè)等邊三角形的一邊為a,則a2+a2=2a2, ∴符合“奇異三角形”的定義,∴“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題. (2)①當(dāng)c為斜邊時(shí),b=c2-a2=52, ∴a=b,∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2), ∴Rt△ABC不是奇異三角形. ②當(dāng)b為斜邊時(shí),b=c2+a2=56, ∵a2+b2=200,2c2=200,∴a2+b2=2c2, ∴Rt△ABC是“奇異三角形”.