第19講直角三角形與勾股定理基礎(chǔ)滿分考場零失誤1.(xx湖南長沙,11,3分)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道題目:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大?題中的“里”是我國市制長度單位,1里=500米,則該沙田的面積為()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米2.(xx溫州)我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形,得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為()A.20B.24C.994D.5323.(xx棗莊)下圖是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA、PB,那么使ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是()A.2B.3C.4D.54.(xx南京,5,2分)如圖,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上兩點,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c5.(xx吉林,11,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(0,3),以點A為圓心,AB長為半徑畫弧,交x軸的負半軸于點C,則點C坐標(biāo)為.6.(xx黔南州)如圖,已知在ABC中,BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點F,且BAC=45,BD=6,CD=4,則ABC的面積為.7.(xx臺灣)嘉嘉參加機器人設(shè)計活動,需操控機器人在55的方格棋盤上從A點行走至B點,且每個小方格皆為正方形,主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R1,R2,R3,其行經(jīng)位置如圖與表所示:路徑編號圖例行徑位置第一條路徑R1-ACDB第二條路徑R2AEDFB第三條路徑R3AGB已知A、B、C、D、E、F、G七點皆落在格線的交點上,且兩點之間的路徑皆為直線,在無法使用任何工具測量的條件下,請判斷R1、R2、R3這三條路徑中,最長與最短的路徑分別為何?請寫出你的答案,并說明理由.8.(xx杭州,21,10分)如圖,在ABC中,ACB=90,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交線段AB于點D;以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,交線段AC于點E,連接CD.(1)若A=28,求ACD的度數(shù);(2)設(shè)BC=a,AC=b.線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎?說明理由;若AD=EC,求ab的值.能力升級提分真功夫 9.(xx南充)如圖,在RtABC中,ACB=90,A=30,D,E,F分別為AB,AC,AD的中點,若BC=2,則EF的長度為()A.12B.1C.32D.310.(xx淄博)如圖,在RtABC中,CM平分ACB交AB于點M,過點M作MNBC交AC于點N,且MN平分AMC,若AN=1,則BC的長為()A.4B.6C.43D.811.(xx東營)如圖所示,圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食,則它爬行的最短距離是()A.31+B.32C.34+22D.31+212.(xx湖北黃岡,5,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=()A.2B.3C.4D.2313.(xx南通)如圖,ABC中,AB=6 cm,AC=42 cm,BC=25 cm,點P以1 cm/s的速度從點B出發(fā)沿邊BAAC運動到點C停止,運動時間為t s,點Q是線段BP的中點.(1)若CPAB,求t的值;(2)若BCQ是直角三角形,求t的值;(3)設(shè)CPQ的面積為S(cm2),求S(cm2)與t(s)的關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.14.(xx揚州)問題呈現(xiàn)如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點D,N和E,C,DN和EC相交于點P,求tanCPN的值.方法歸納求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中的CPN不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題,比如連接格點M,N,可得MNEC,則DNM=CPN,連接DM,那么CPN就變換到RtDMN中.問題解決(1)直接寫出圖1中tanCPN的值為;(2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點P,求cosCPN的值;思維拓展(3)如圖3,ABBC,AB=4BC,點M在AB上,且AM=BC,延長CB到N,使BN=2BC,連接AN交CM的延長線于點P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求CPN的度數(shù).預(yù)測猜押把脈新中考 15.(2019改編預(yù)測)如圖,已知ACB=90,AC>BC,分別以ABC的邊AB,BC,CA為一邊向ABC外作正方形ABDE,正方形BCMN,正方形CAFG,連接EF,GM,設(shè)AEF,CGM的面積分別為S1,S2,則下列結(jié)論正確的是()A.S1=S2B.S1<S2C.S1>S2D.S1S216.(2019改編預(yù)測)已知Word文本中的圖形,在圖形的格式中大小菜單下顯示有圖形的絕對高度和絕對寬度,同一個圖形隨其放置方向的變化,所顯示的絕對高度和絕對寬度也隨之變化.如圖、是同一個三角形以三條不同的邊水平放置時,它們所顯示的絕對高度和絕對寬度如下表,現(xiàn)有ABC,已知AB=AC,當(dāng)它以底邊BC水平放置時(如圖),它所顯示的絕對高度和絕對寬度如下表,那么當(dāng)ABC以腰AB水平放置時(如圖),它所顯示的絕對高度和絕對寬度分別是()圖形圖圖圖圖圖絕對高度1.502.001.202.40?絕對寬度2.001.502.503.60?A.3.60和2.40B.2.56和3.00C.2.56和2.88D.2.88和3.0017.閱讀下面的情景對話,然后解答問題:老師:我們新定義一種三角形,兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.小華:等邊三角形一定是奇異三角形!小明:那直角三角形是否存在奇異三角形呢?(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義,請你判斷小華提出的命題:“等邊三角形一定是奇異三角形”是命題(填“真”或“假”);(2)在RtABC中,兩邊長分別是a=52、c=10,這個三角形是不是“奇異三角形”?請說明理由.答案精解精析基礎(chǔ)滿分1.A2.B3.B4.D5.答案(-1,0)6.答案607.解析設(shè)每個小方格的邊長為1,第一條路徑的長度為12+32+12+12+12+32=210+2,第二條路徑的長度為12+12+12+32+1+12+22=2+10+5+1,第三條路徑的長度為42+22+12+32=25+10,25+10<210+2<2+10+5+1,最長路徑為AEDFB,最短路徑為AGB.8.解析(1)ACB=90,A=28,B=62,由題意知BD=BC,BCD=BDC=59,ACD=90-BCD=31.(2)線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根.理由如下:由勾股定理得AB=AC2+BC2=a2+b2,AD=a2+b2-a,解方程x2+2ax-b2=0,得x=-2a4a2+4b22=a2+b2-a,線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根.AD=AE,AD=EC,AE=EC=b2,由勾股定理得a2+b2=12b+a2,整理得ab=34.能力升級9.B10.B11.C12.C13.解析(1)如圖1中,作CHAB于H.設(shè)BH=x cm,CHAB,CHB=CHA=90,AC2-AH2=BC2-BH2,(42)2-(6-x)2=(25)2-x2,解得x=2,當(dāng)點P與H重合時,CPAB,此時t=2.(2)如圖2中,當(dāng)點Q與H重合時,BP=2BQ=4 cm,此時t=4.如圖3中,當(dāng)CP=CB=25 cm時,CQPB,此時t=6+(42-25)=6+42-25.(3)S=t,0t6,-324t+6+922,6<t<6+42.14.解析(1)2.(2)如圖,取格點D,連接CD,DM.CDAN,CPN=DCM,易知DCM是等腰直角三角形,DCM=CDM=45,cosCPN=cosDCM=22.(3)如圖,取格點M,連接AM、MN.PCMN,CPN=ANM,AM=MN,AMN=90,ANM=MAN=45,CPN=45.預(yù)測猜押15.A16.D17.解析(1)真.設(shè)等邊三角形的一邊為a,則a2+a2=2a2,符合“奇異三角形”的定義,“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題.(2)當(dāng)c為斜邊時,b=c2-a2=52,a=b,a2+c22b2(或b2+c22a2),RtABC不是奇異三角形.當(dāng)b為斜邊時,b=c2+a2=56,a2+b2=200,2c2=200,a2+b2=2c2,RtABC是“奇異三角形”.