4.2.1直線與圓的位置關系【選題明細表】 知識點、方法題號直線與圓位置關系的判定3,4相交問題1,5,6,11相切問題2,7,8,9直線與圓位置關系的應用9,10,12,131.(2018云南昆明模擬)已知直線l:y=x+m與圓C:x2+(y-3)2=6相交于A,B兩點,若|AB|=2,則實數m的值等于(C)(A)-7或-1(B)1或7(C)-1或7(D)-7或1解析:圓心(0,3)到直線l的距離d=,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故選C.2.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸相切,則該圓的標準方程是(B)(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:設圓心為(a,1),由已知得d=1,由a>0,所以a=2.3.(2018江西新余高一期末)曲線y=1+與直線kx-y-2k+4=0有兩個交點時,實數k取值范圍是(A)(A)(,)(B)(,)(C)(,)(D)(0,)解析:曲線y=1+,因為x-2,2,y=1+1,所以x2+(y-1)2=4,表示圓心為M(0,1),半徑r=2的圓的上半部分.直線y=k(x-2)+4表示過定點P(2,4)的直線,當直線與圓相切時,由圓心到直線kx-y+4-2k=0的距離d=2,解得k=.當直線經過點B(-2,1)時,直線PB的斜率為k=.所以要使直線與曲線有兩個不同的公共點,則必有<k.即實數k的取值范圍是(,).4.(2018河北承德期末)已知直線l:y=kx+2(kR),圓M:(x-1)2+y2=6,圓N:x2+(y+1)2=9,則(D)(A)l必與圓M相切,l不可能與圓N相交(B)l必與圓M相交,l不可能與圓N相切(C)l必與圓M相切,l不可能與圓N相切(D)l必與圓M相交,l不可能與圓N相離解析:因為直線l:y=kx+2(kR)過點(0,2),(0,2)在圓M:(x-1)2+y2=6內,所以直線l必與圓M相交,因為(0,2)在圓N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能與圓N相離.故選D.5.(2018湖南益陽高一期末)若PQ是圓x2+y2=9的弦,PQ的中點是A(1,2),則直線PQ的方程是(B)(A)x+2y-3=0(B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0(D)2x-y=0解析:設圓的圓心是O,由題意知,直線PQ過點A(1,2),且和直線OA垂直,故其方程為y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故選B.6.(2018湖南岳陽模擬)已知圓C:x2+(y-3)2=4,過A(-1,0)的直線l與圓C相交于P,Q兩點.若|PQ|=2,則直線l的方程為.解析:當直線l與x軸垂直時,易知x=-1符合題意;當直線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y=k(x+1),由|PQ|=2,則圓心C(0,3)到直線l的距離d=1,解得k=,此時直線l的方程為y=(x+1).故所求直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018山東棗莊二模)已知圓M與直線x-y=0及x-y+4=0都相切,圓心在直線y=-x+2上,則圓M的標準方程為.解析:圓心在y=-x+2上,設圓心為(a,2-a),因為圓C與直線x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圓心到直線x-y=0的距離等于圓心到直線x-y+4=0的距離,即=,解得a=0,所以圓心坐標為(0,2),r=,圓C的標準方程為x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圓C的方程為(x-1)2+y2=9,求過M(-2,4)的圓C的切線方程.解:因為r=3,圓心C(1,0)到點M(-2,4)的距離d=5>r,所以點M(-2,4)在圓C外,切線有兩條.(1)當切線的斜率存在時,設過點M(-2,4)的圓C的切線方程為y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圓心C(1,0)到切線的距離等于半徑3,得=3.解得k=-,代入切線方程得7x+24y-82=0.(2)當切線的斜率不存在時,圓心C(1,0)到直線x=-2的距離等于半 徑3,所以x=-2也是圓C的切線方程.綜上(1)(2),所求圓C的切線方程為x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直線ax+by-3=0和圓x2+y2+4x-1=0相切于點P(-1,2),則ab的值為(C)(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圓的標準方程為(x+2)2+y2=5,直線與圓相切,則圓心到直線距離為,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直線過P(-1,2),代入得2b-a-3=0,兩式聯立,得a=1,b=2,所以ab=2,故選C.10.(2018寧夏中衛(wèi)市二模)已知從圓C:(x+1)2+(y-2)2=2外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,則當|PM|取最小值時點P的坐標為.解析:如圖所示,圓心C(-1,2),半徑r=.因為|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C為圓心,r為圓的半徑),所以+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.當直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時,即直線PO的方程為2x+y=0時,|PM|最小,此時P點即為兩直線的交點,得P點坐標(-,).答案:(-,)11.已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且ABC為等邊三角形,則實數a=.解析:依題意,圓C的半徑是2,圓心C(1,a)到直線ax+y-2=0的距離等于2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4.答案:412.(2018河南平頂山高一期末)設有一條光線從P(-2,4)射出,并且經x軸上一點Q(2,0)反射.(1)求入射光線和反射光線所在的直線方程(分別記為l1,l2);(2)設動直線l:x=my-2,當點M(0,-6)到l的距離最大時,求l,l1,l2所圍成的三角形的內切圓(即圓心在三角形內,并且與三角形的三邊相切的圓)的方程.解:(1)因為kPQ=-,所以l1:y=-(x-2),因為l1,l2關于x軸對稱,所以l2:y=(x-2).(2)因為l恒過點N(-2,0),當MNl時,M到l的距離最大,因為kMN=-,所以m=,所以l的方程為x=y-2,設所求方程為(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r=,得t=2,所以所求方程為(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018蘭州二十七中高二上期末)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標是整數,且與直線4x+3y-29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設直線ax-y+5=0與圓相交于A,B兩點,求實數a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實數a,使得過點P(-2,4)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實數a的值;若不存在,請說明理由.解:(1)設圓心為M(m,0)(mZ),由于圓與直線4x+3y-29=0相切且半徑為5,所以=5,即|4m-29|=25.因為m為整數,故m=1.故所求的圓的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直線ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直線ax-y+5=0交圓于A,B兩點,故=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以實數a的取值范圍是(-,0)(,+).(3)設符合條件的實數a存在,由(2)得a0,則直線l的斜率為-,l的方程為y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圓心M(1,0)必在l上,所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于(,+),故存在實數a=,使得過點P(-2,4)的直線l垂直平分弦AB.