專題10 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、考綱要求:1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，并會(huì)解決與之有關(guān)的方程(不等式)問(wèn)題；4.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)：1在某區(qū)間內(nèi)f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件2可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對(duì)x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零3對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是函數(shù)f(x)在xx0處有極值的必要不充分條件4.用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)fx在（a,b）內(nèi)的單調(diào)性的步驟一求：求f(x)；二定：確定f(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)；三結(jié)論：作出結(jié)論：f(x)0時(shí)為增函數(shù)；f(x)0時(shí)為減函數(shù).5.研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(1）討論分以下四個(gè)方面二次項(xiàng)系數(shù)討論，根的有無(wú)討論，根的大小討論，根在不在定義域內(nèi)討論.(2）討論時(shí)要根據(jù)上面四種情況，找準(zhǔn)參數(shù)討論的分點(diǎn).(3）討論完必須寫綜述.6.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問(wèn)題的一般流程7已知函數(shù)極值點(diǎn)和極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)驗(yàn)證：因?yàn)橐稽c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性三、高考題例分析例1（2018新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=x+alnx（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：a2當(dāng)a0時(shí)，判別式=a24，當(dāng)0a4時(shí)，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+）上是減函數(shù)，當(dāng)a2時(shí)，x，f（x），f（x）的變化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 遞減 遞增遞減綜上當(dāng)a2時(shí)，f（x）在（0，+）上是減函數(shù)，當(dāng)a2時(shí)，在（0，），和（，+）上是減函數(shù)，則（，）上是增函數(shù)設(shè)h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求導(dǎo)得h（x）=1=0，則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，則a2成立例2（2018新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=exax2（1）若a=1，證明：當(dāng)x0時(shí)，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a【解答】證明：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=exx2則f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，則g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2當(dāng)（0，ln2）時(shí)，h（x）0，當(dāng)（ln2，+）時(shí)，h（x）0，h（x）h（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）單調(diào)遞增，f（x）f（0）=1，例3（2018新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，證明：當(dāng)1x0時(shí)，f（x）0；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a【解答】（1）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得x（1，0）時(shí)，f（x）0，x（0，+）時(shí)，f（x）0f（x）在（1，0）遞減，在（0，+）遞增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上單調(diào)遞增，又f（0）=0當(dāng)1x0時(shí)，f（x）0；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）當(dāng)a0，x0時(shí)，h（x）0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，故x=0不是f（x）的極大值點(diǎn)，不符合題意當(dāng)a0時(shí)，h（x）=8a+4aln（x+1）+，顯然h（x）單調(diào)遞減，若a0，則h（0）=1+6a0，h（e1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0在（0，+）上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，當(dāng)0xx0時(shí)，h（x）0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）h（0）=0，即f（x）0，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用練習(xí)一、選擇題1函數(shù)f(x)exx的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，1B1，)C(，0D0，)D解析：f(x)exx，f(x)ex1，令f(x)0，得ex10，即x0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是0，)2已知函數(shù)f(x)x3ax4，則“a0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A解析：f(x)x2a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件3若冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)g(x)exf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為() A(，0)B(，2)C(2，1)D(2,0)4已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖2112所示，則該函數(shù)的圖象是()圖2112B解析：由yf(x)的圖象知，yf(x)在1,1上為增函數(shù)，且在區(qū)間1,0)上增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而在區(qū)間(0,1上增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢5(2017安徽二模)已知f(x)，則()Af(2)f(e)f(3)Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e)Df(e)f(3)f(2)6下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是()Ayx3Byln(x)CyxexDyxD解析：由題可知，B，C選項(xiàng)中的函數(shù)不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)中，函數(shù)yx3單調(diào)遞增(無(wú)極值)，而D選項(xiàng)中的函數(shù)既為奇函數(shù)又存在極值7(2016四川高考)已知a為函數(shù)f(x)x312x的極小值點(diǎn)，則a()A4B2C4D2D解析：由題意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，當(dāng)x<2或x>2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x<2時(shí)，f(x)<0，f(x)在(，2)上為增函數(shù)，在(2,2)上為減函數(shù)，在(2，)上為增函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，a2.8函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為() AB1C0D不存在A解析：f(x)x且x0.令f(x)0，得x1.令f(x)0，得0x1.f(x)在x1處取得極小值也是最小值，f(1)ln 1.9已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,2)B(，3)(6，)C(3,6)D(，1)(2，)B解析：f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，4a243(a6)0，即a23a180，a6或a3.10(2018山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)xf(x)0，則()A3f(1)f(3)B3f(1)f(3)C3f(1)f(3)Df(1)f(3)B解析：由于f(x)xf(x)，則0恒成立，因此在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，即3f(1)f(3)11函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)f(2x)，且當(dāng)x(，1)時(shí)，(x1)f(x)0，設(shè)af(0)，bf，cf(3)，則()AabcBcbaCcabDbca12(2017安徽江淮十校第三次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1a2Ba4Ca2D0a3A解析：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)x，由f(x)x0，解得0x3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，所以解得1a2，選A二、填空題13若函數(shù)f(x)x3x22ax在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是_. 14若函數(shù)f(x)2x33mx26x在區(qū)間(2，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi). 解析：f(x)6x26mx6，當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，當(dāng)x2時(shí)，g(x)0，即g(x)在(2，)上單調(diào)遞增，m2.15.設(shè)函數(shù)f(x)則f(x)的最大值為_(kāi)2解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)1x0時(shí)，f(x)0，f(x)是減函數(shù)，f(x)f(1)2，f(x)的最大值為2.16.已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x00，則a的取值范圍是_. (，2)三、解答題17已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx，得f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，則f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，故舍去當(dāng)x(0,5)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x(5，)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù)所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,5)，單調(diào)增區(qū)間為(5，)18已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)(1)要使f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；(2)當(dāng)a<0時(shí)，若函數(shù)滿足f(x)max1，f(x)min3，試求yf(x)的解析式解(1)f(x)3x22ax.依題意f(x)0在(0,2)上恒成立，即2ax3x2.x0，2a3x，2a6，a3，即a的取值范圍是3，)f(x)x33x21.19.已知函數(shù)f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在2,1上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由f(0)1a2，得a1.易知f(x)在2,0)上單調(diào)遞減，在(0,1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)f(x)exa，由于ex0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)exa(x1)0.當(dāng)x0時(shí)，取x，則f1aa0.所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿足題意當(dāng)a0時(shí)，f(x)exa，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，在(ln(a)，)上，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)xln(a)時(shí)，f(x)取最小值函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是e2a0.20設(shè)函數(shù)f(x)ln(xa)x2. (1)若當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值，求a的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)存在極值，求a的取值范圍解(1)f(x)2x，依題意，有f(1)0，故a.從而f(x)，且f(x)的定義域?yàn)?，?dāng)x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.f(x)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減21已知函數(shù)f(x)x2aln x.(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)f(x)在1，)上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a2時(shí)，f(x)2x，由f(x)0得0x1，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)(2)由題意得g(x)2x，函數(shù)g(x)在1，)上是單調(diào)函數(shù)若g(x)為1，)上的單調(diào)增函數(shù)，則g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，設(shè)(x)2x2，(x)在1，)上單調(diào)遞減，(x)max(1)0，a0.若g(x)為1，)上的單調(diào)減函數(shù)，則g(x)0在1，)上恒成立，不可能實(shí)數(shù)a的取值范圍為0，)22已知函數(shù)f(x)exmx，其中m為常數(shù)(1)若對(duì)任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范圍；(2)當(dāng)m1時(shí)，判斷f(x)在0,2m上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由(2)f(x)在0,2m上有兩個(gè)零點(diǎn)，理由如下：當(dāng)m1時(shí)，f(m)1m0.f(0)em0，f(0)f(m)0，且f(x)在(0，m)上單調(diào)遞減f(x)在(0，m)上有一個(gè)零點(diǎn)又f(2m)em2m，令g(m)em2m，則g(m)em2，當(dāng)m1時(shí)，g(m)em20，g(m)在(1，)上單調(diào)遞增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一個(gè)零點(diǎn)故f(x)在0,2m上有兩個(gè)零點(diǎn)