4.2.1研究機械能守恒定律(一) 機械能守恒定律及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知道什么是機械能，知道物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化.2.能夠根據(jù)動能定理、重力做功與重力勢能變化間的關(guān)系，推導(dǎo)出機械能守恒定律.3.會根據(jù)機械能守恒的條件判斷機械能是否守恒，能運用機械能守恒定律解決有關(guān)問題一、動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化1重力勢能與動能的轉(zhuǎn)化只有重力做功時，若重力對物體做正功，則物體的重力勢能減少，動能增加，物體的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能，若重力對物體做負(fù)功，則物體的重力勢能增加，動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為重力勢能2彈性勢能與動能的轉(zhuǎn)化只有彈簧彈力做功時，若彈力對物體做正功，則彈簧的彈性勢能減少，物體的動能增加，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體的動能；若彈力對物體做負(fù)功，則彈簧的彈性勢能增加，物體的動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能3機械能：重力勢能、彈性勢能與動能統(tǒng)稱為機械能二、機械能守恒定律1內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變2表達(dá)式：EEkEp恒量即學(xué)即用1判斷下列說法的正誤(1)機械能守恒時，物體一定只受重力和彈力作用()(2)合力為零，物體的機械能一定守恒()(3)合力做功為零，物體的機械能保持不變()(4)只有重力做功時，物體的機械能一定守恒()2如圖1所示，桌面高為h，質(zhì)量為m的小球從離桌面高為H處自由下落，不計空氣阻力，假設(shè)桌面處的重力勢能為零，則小球落到地面前瞬間的機械能為_(重力加速度為g)圖1答案mgH一、機械能守恒定律導(dǎo)學(xué)探究如圖2所示，質(zhì)量為m的物體自由下落的過程中，下落到高度為h1的A處時速度為v1，下落到高度為h2的B處時速度為v2，不計空氣阻力，選擇地面為參考平面圖2(1)求物體在A、B處的機械能EA、EB；(2)比較物體在A、B處的機械能的大小答案(1)物體在A處的機械能EAmgh1mv12物體在B處的機械能EBmgh2mv22(2)根據(jù)動能定理WGmv22mv12下落過程中重力對物體做功，重力做的功等于物體重力勢能的減少量，則WGmgh1mgh2由以上兩式可得：mv22mv12mgh1mgh2移項得mv12mgh1mv22mgh2由此可知物體在A、B兩處的機械能相等知識深化1對機械能守恒條件的理解(1)物體只受重力，只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，如自由落體運動、拋體運動等(2)只有彈力做功，只發(fā)生動能和彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化如在光滑水平面上運動的物體碰到一個彈簧，和彈簧相互作用的過程中，對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機械能守恒(3)重力和彈力都做功，發(fā)生動能、彈性勢能、重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，如自由下落的物體落到豎直的彈簧上和彈簧相互作用的過程中，對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機械能守恒(4)除受重力或彈力外，還受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和為零如物體在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面運動，拉力與摩擦力的大小相等，方向相反，在此運動過程中，其機械能守恒2判斷機械能是否守恒的方法(1)利用機械能的定義判斷(直接判斷)：若物體動能、勢能均不變，機械能不變?nèi)魟幽芎蛣菽苤?，一種能變化，另一種能不變，則其機械能一定變化(2)用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒(3)用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機械能守恒例1(多選)如圖3所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是()圖3A甲圖中，物體將彈簧壓縮的過程中，物體機械能守恒B乙圖中，物體在大小等于摩擦力的拉力F作用下沿斜面下滑時，物體機械能守恒C丙圖中，物體沿斜面勻速下滑的過程中，物體機械能守恒D丁圖中，斜面光滑，物體在斜面上下滑的過程中，物體機械能守恒答案BD解析弄清楚機械能守恒的條件是分析此問題的關(guān)鍵表解如下：選項結(jié)論分析A物體壓縮彈簧的過程中，物體所受重力和彈簧的彈力都對其做功，所以物體機械能不守恒B物體沿光滑斜面下滑過程中，除重力做功外，其他力做功的代數(shù)和始終為零，所以物體機械能守恒C物體沿斜面勻速下滑的過程中動能不變，重力勢能減小，所以物體機械能不守恒D物體沿光滑斜面下滑過程中，只有重力對其做功，所以物體機械能守恒【考點】機械能守恒條件的判斷【題點】單物體和地球系統(tǒng)的機械能守恒條件的判斷針對訓(xùn)練1(多選)如圖4所示，彈簧固定在地面上，一小球從它的正上方A處自由下落，到達(dá)B處開始與彈簧接觸，到達(dá)C處速度為0，不計空氣阻力，則在小球從B到C的過程中()圖4A彈簧的彈性勢能不斷增加B彈簧的彈性勢能不斷減少C小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能不斷減少D小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能保持不變答案AD解析從B到C，小球克服彈力做功，彈簧的彈性勢能不斷增加，A正確，B錯誤；對小球、彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒，C錯誤，D正確【考點】機械能守恒條件的判斷【題點】多物體系統(tǒng)的機械能守恒條件的判斷二、機械能守恒定律的應(yīng)用1機械能守恒定律常用的三種表達(dá)式(1)從不同狀態(tài)看：Ek1Ep1Ek2Ep2(或E1E2)此式表示系統(tǒng)的兩個狀態(tài)的機械能總量相等(2)從能的轉(zhuǎn)化角度看：EkEp此式表示系統(tǒng)動能的增加(減少)量等于勢能的減少(增加)量(3)從能的轉(zhuǎn)移角度看：EA增EB減此式表示系統(tǒng)A部分機械能的增加量等于系統(tǒng)剩余部分，即B部分機械能的減少量2機械能守恒定律的應(yīng)用步驟首先對研究對象進(jìn)行正確的受力分析，判斷各個力是否做功，并分析是否符合機械能守恒的條件若機械能守恒，則根據(jù)機械能守恒定律列出方程，或再輔以其他方程進(jìn)行求解例2如圖5所示為某游樂場的過山車的簡化模型，豎直圓形軌道的半徑為R，軌道最下端與水平地面相切現(xiàn)有一節(jié)車廂(可視為質(zhì)點)，質(zhì)量為m，從高處由靜止滑下，不計摩擦和空氣阻力圖5(1)要使車廂通過圓形軌道的最高點，車廂開始下滑時距地面的高度至少應(yīng)多大？(2)若車廂恰好通過圓形軌道的最高點，則車廂在軌道最低處時對軌道的壓力是多少(重力加速度為g)?答案(1)R(2)6mg解析(1)設(shè)車廂開始下滑時距地面的高度為h，運動到圓形軌道最高點時的速度為v，要使車廂通過圓形軌道的最高點，應(yīng)有mg車廂在下滑過程中，只有重力做功，故機械能守恒，選取軌道最低點所在平面為零勢能參考平面，由機械能守恒定律得mv2mg2Rmgh聯(lián)立以上兩式解得hR因此車廂開始下滑時距地面的高度至少為R.(2)設(shè)車廂到達(dá)軌道最低點時的速度為v，受到的支持力為FN，則由機械能守恒定律得mv2mgh再由牛頓第二定律得Nmg由以上兩式解得Nmgmg6mg由牛頓第三定律知，車廂對軌道的壓力NN6mg【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律在圓周運動中的應(yīng)用針對訓(xùn)練2如圖6所示，質(zhì)量m50 kg的跳水運動員從距水面高h(yuǎn)10 m的跳臺上以v05 m/s的速度斜向上起跳，最終落入水中，若忽略運動員的身高，取g10 m/s2，不計空氣阻力求：圖6(1)運動員在跳臺上時具有的重力勢能(以水面為零勢能參考平面)；(2)運動員起跳時的動能；(3)運動員入水時的速度大小答案(1)5 000 J(2)625 J(3)15 m/s解析(1)以水面為零勢能參考平面，則運動員在跳臺上時具有的重力勢能為Epmgh5 000 J.(2)運動員起跳時的速度為v05 m/s，則運動員起跳時的動能為Ekmv02625 J.(3)運動員從起跳到入水過程中，只有重力做功，運動員的機械能守恒，則mghmv02mv2，解得v15 m/s.【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律在拋體運動中的應(yīng)用1(機械能是否守恒的判斷)關(guān)于機械能守恒，下列說法正確的是()A做自由落體運動的物體，機械能一定守恒B人乘電梯加速上升的過程，機械能守恒C物體必須在只受重力作用的情況下，機械能才守恒D合外力對物體做功為零時，機械能一定守恒答案A解析做自由落體運動的物體，只受重力作用，機械能守恒，A正確；人乘電梯加速上升的過程，電梯對人的支持力做功，故人的機械能不守恒，B錯誤；物體只有重力做功時，其他力也可存在，當(dāng)它們不做功或做功之和為0時，機械能也守恒，故C錯誤；合外力對物體做功為零，物體的動能不變，機械能不一定守恒，D錯誤【考點】機械能守恒條件的判斷【題點】單物體和地球系統(tǒng)的機械能守恒條件的判斷2(機械能守恒定律的應(yīng)用)以相同大小的初速度v0將物體從同一水平面分別豎直上拋、斜上拋、沿光滑斜面(足夠長)上滑，如圖7所示，三種情況達(dá)到的最大高度分別為h1、h2和h3，不計空氣阻力，則()圖7Ah1h2h3 Bh1h2h3Ch1h3h2 Dh1h3h2答案D解析豎直上拋的物體和沿斜面運動的物體，上升到最高點時，速度均為0，由機械能守恒定律得mghmv02，所以h；斜上拋的物體在最高點速度不為零，設(shè)為v1，則mgh2mv02mv12，所以h2h1h3，D正確【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律的簡單應(yīng)用3.(機械能守恒定律的應(yīng)用)如圖8所示，由距離地面h21 m的高度處以v04 m/s的速度斜向上拋出質(zhì)量為m1 kg的物體，當(dāng)其上升的高度為h10.4 m時到達(dá)最高點，最終落在水平地面上，現(xiàn)以過拋出點的水平面為零勢能面，取重力加速度g10 m/s2，不計空氣阻力，則()圖8A物體在最大高度處的重力勢能為14 JB物體在最大高度處的機械能為16 JC物體在地面處的機械能為8 JD物體在地面處的動能為8 J答案C解析物體在最高點時具有的重力勢能Ep1mgh11100.4 J4 J，A錯誤；物體在最高點時具有的機械能等于剛拋出時的動能，即8 J，B錯誤；物體在下落過程中，機械能守恒，任意位置的機械能都等于8 J，C正確；物體落地時的動能EkEEp2Emgh28 J110(1) J18 J，D錯誤【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律的簡單應(yīng)用4(機械能守恒定律的應(yīng)用)如圖9所示，在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為.一小球在A點正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點沿圓弧軌道運動(不計空氣阻力)圖9(1)求小球在B、A兩點的動能之比；(2)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點答案(1)51(2)見解析解析(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點的動能為EkA，由機械能守恒定律得EkAmg設(shè)小球在B點的動能為EkB，同理有EkBmg由式得5.(2)若小球能沿軌道運動到C點，則小球在C點所受軌道的正壓力N應(yīng)滿足N0設(shè)小球在C點的速度大小為vC，由牛頓第二定律和向心加速度公式有Nmgm由式得：vC應(yīng)滿足mgm由機械能守恒定律得mgmvC2由式可知，小球恰好可以沿軌道運動到C點【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律在圓周運動中的應(yīng)用一、選擇題考點一機械能是否守恒的判斷1下列運動的物體，機械能守恒的是()A物體沿斜面勻速下滑B物體從高處以0.9g的加速度豎直下落C物體沿光滑曲面自由滑下D拉著一個物體沿光滑的斜面勻速上升答案C解析物體沿斜面勻速下滑時，動能不變，重力勢能減小，所以機械能減小，A錯誤物體以0.9g的加速度豎直下落時，除重力外，其他力的合力向上，大小為0.1mg，其他力的合力在物體下落時對物體做負(fù)功，物體的機械能不守恒，B錯誤物體沿光滑曲面自由滑下時，只有重力做功，機械能守恒，C正確拉著物體沿斜面上升時，拉力對物體做功，物體的機械能不守恒，D錯誤【考點】機械能守恒條件的判斷【題點】單物體和地球系統(tǒng)的機械能守恒條件的判斷2.(多選)如圖1所示，一輕彈簧固定于O點，另一端系一重物，將重物從與懸點O在同一水平面且彈簧保持原長的A點無初速度地釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力，在重物由A點擺向最低點的過程中()圖1A重物的機械能減少B重物與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能不變C重物與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能增加D重物與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能減少答案AB解析重物自由擺下的過程中，彈簧拉力對重物做負(fù)功，重物的機械能減少，選項A正確；對重物與彈簧組成的系統(tǒng)而言，除重力、彈力外，無其他外力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒，選項B正確【考點】機械能守恒條件的判斷【題點】多物體系統(tǒng)的機械能守恒的判斷3.木塊靜止掛在繩子下端，一子彈以水平速度射入木塊并留在其中，再與木塊一起擺到一定高度，如圖2所示，從子彈開始入射到共同上擺到最大高度的過程中，下面說法正確的是()圖2A子彈的機械能守恒B木塊的機械能守恒C子彈和木塊的總機械能守恒D以上說法都不對答案D解析子彈打入木塊的過程中，子彈克服摩擦力做功產(chǎn)生熱能，故系統(tǒng)機械能不守恒，子彈的機械能不守恒，木塊的機械能不守恒故選D.【考點】機械能守恒條件的判斷【題點】多物體系統(tǒng)的機械能守恒的判斷4(多選)豎直放置的輕彈簧下連接一個小球，用手托起小球，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，如圖3所示則迅速放手后(不計空氣阻力)()圖3A放手瞬間小球的加速度等于重力加速度B小球、彈簧與地球組成的系統(tǒng)機械能守恒C小球的機械能守恒D小球向下運動過程中，小球動能與彈簧彈性勢能之和不斷增大答案BD解析放手瞬間小球的加速度大于重力加速度，A錯誤；整個系統(tǒng)(包括地球)的機械能守恒，但小球的機械能不守恒，B正確，C錯誤；向下運動過程中，由于重力勢能減小，所以小球的動能與彈簧彈性勢能之和不斷增大，D正確【考點】機械能守恒條件的判斷【題點】多物體系統(tǒng)的機械能守恒的判斷考點二機械能守恒定律的應(yīng)用5(多選)把質(zhì)量為m的石塊從高h(yuǎn)的山崖上沿與水平方向成角的斜向上的方向拋出(如圖4所示)，拋出的初速度為v0，石塊落地時的速度大小與下面哪些量無關(guān)(不計空氣阻力)()圖4A石塊的質(zhì)量 B石塊初速度的大小C石塊初速度的仰角 D石塊拋出時的高度答案AC解析以地面為參考平面，石塊運動過程中機械能守恒，則mghmv02mv2即v22ghv02，所以v由此可知，v與石塊的初速度大小v0和高度h有關(guān)，而與石塊的質(zhì)量和初速度的方向無關(guān)故選A、C.【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律在拋體運動中的應(yīng)用6如圖5所示是某公園設(shè)計的一種驚險刺激的娛樂設(shè)施管道除D點右側(cè)水平部分粗糙外，其余部分均光滑若挑戰(zhàn)者自斜管上足夠高的位置滑下，將無能量損失地連續(xù)滑入第一個、第二個圓管形管道A、B內(nèi)部(管道A比管道B高)某次一挑戰(zhàn)者自斜管上某處滑下，經(jīng)過管道A內(nèi)部最高點時，對管壁恰好無壓力則這名挑戰(zhàn)者()圖5A經(jīng)過管道A最高點時的機械能大于經(jīng)過管道B最低點時的機械能B經(jīng)過管道A最高點時的動能大于經(jīng)過管道B最低點時的動能C經(jīng)過管道B最高點時對管外側(cè)壁有壓力D不能經(jīng)過管道B的最高點答案C【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律在圓周運動中的應(yīng)用7.如圖6所示，固定的豎直光滑長桿上套有質(zhì)量為m的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平狀態(tài)的輕質(zhì)彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，并且處于原長狀態(tài)，現(xiàn)讓圓環(huán)由靜止開始下滑，已知彈簧原長為L，圓環(huán)下滑到最大距離時彈簧的長度變?yōu)?L(未超過彈性限度)，則在圓環(huán)下滑到最大距離的過程中()圖6A圓環(huán)的機械能守恒B彈簧彈性勢能變化了mgLC圓環(huán)下滑到最大距離時，所受合力為零D圓環(huán)重力勢能與彈簧彈性勢能之和始終保持不變答案B解析圓環(huán)在下落過程中機械能減少，彈簧彈性勢能增加，而圓環(huán)與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒圓環(huán)下落到最低點時速度為零，但是加速度不為零，即合力不為零；圓環(huán)下降高度hL，所以圓環(huán)重力勢能減少了mgL，由機械能守恒定律可知，彈簧的彈性勢能增加了mgL.故選B.【考點】系統(tǒng)機械能守恒的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律在彈簧類問題中的應(yīng)用8(多選)圖7是滑道壓力測試的示意圖，光滑圓弧軌道與光滑斜面相切，滑道底部B處安裝一個壓力傳感器，其示數(shù)N表示該處所受壓力的大小，某滑塊從斜面上不同高度h處由靜止下滑，通過B處時，下列表述正確的有()圖7AN小于滑塊重力 BN大于滑塊重力CN越大表明h越大 DN越大表明h越小答案BC解析設(shè)滑塊在B點的速度大小為v，選B處所在平面為零勢能面，從開始下滑到B處，由機械能守恒定律得mghmv2，在B處由牛頓第二定律得Nmgm，又根據(jù)牛頓第三定律NN，因而選B、C.【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律的簡單應(yīng)用9(多選)質(zhì)量相同的小球A和B分別懸掛在長為L和2L的不同長繩上，先將小球拉至同一水平位置(如圖8所示)從靜止釋放，當(dāng)兩繩豎直時，不計空氣阻力，則()圖8A兩球的速率一樣大B兩球的動能一樣大C兩球的機械能一樣大D兩球所受的拉力一樣大答案CD解析兩球在下落過程中機械能守恒，開始下落時，重力勢能相等，動能都為零，所以機械能相等，下落到最低點時的機械能也一樣大，選項C正確選取小球A為研究對象，設(shè)小球到達(dá)最低點時的速度大小為vA，動能為EkA，小球所受的拉力大小為FA，則mgLmvA2，F(xiàn)Amg，可得vA，EkAmgL，F(xiàn)A3mg；同理可得vB2，EkB2mgL，F(xiàn)B3mg，故選項A、B錯誤，D正確【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律的簡單應(yīng)用10.如圖9所示，用長為L的細(xì)線，一端系于懸點A，另一端拴住一質(zhì)量為m的小球，先將小球拉至水平位置并使細(xì)線繃直，在懸點A的正下方O點釘有一小釘子，今將小球由靜止釋放，要使小球能在豎直平面內(nèi)做完整圓周運動，OA的最小距離是()圖9A. B.C.L D.L答案D解析設(shè)小球做完整圓周運動的軌道半徑為R，小球剛好過最高點的條件為mg解得v0小球由靜止釋放到運動至圓周最高點的過程中，只有重力做功，因而機械能守恒，取初位置所在水平面為參考平面，由機械能守恒定律得mv02mg(L2R)解得RL所以O(shè)A的最小距離為LRL，故D正確【考點】單個物體機械能守恒定律的應(yīng)用【題點】機械能守恒定律在圓周運動中的應(yīng)用二、非選擇題11(機械能守恒定律的應(yīng)用)如圖10所示，讓擺球從圖中A位置由靜止開始下擺，正好擺到最低點B位置時擺線被拉斷設(shè)擺線長l1.6 m，O點離地高H5.8 m，不計擺線斷時的機械能損失，不計空氣阻力，g取10 m/s2，求：圖10(1)擺球剛到達(dá)B點時的速度大小；(2)落到地面D點時擺球的速度大小答案(1)4 m/s(2)10 m/s解析(1)擺球由A到B的過程中只有重力做功，故機械能守恒根據(jù)機械能守恒定律得mg(1sin 30)lmvB2，解得vB4 m/s.(2)擺球由B到D過程中只有重力做功，機械能守恒根據(jù)機械能守恒定律得mvD2mvB2mg(Hl)解得vD10 m/s.【考點】機械能守恒定律在多過程問題中的應(yīng)用【題點】應(yīng)用機械能守恒定律處理單體多過程問題12(機械能守恒定律的應(yīng)用)如圖11所示，豎直平面內(nèi)有一半徑R0.5 m的光滑圓弧槽BCD，B點與圓心O等高，一水平面與圓弧槽相接于D點，質(zhì)量m0.5 kg的小球從B點正上方H高處的A點自由下落，由B點進(jìn)入圓弧軌道，從D點飛出后落在水平面上的Q點，DQ間的距離x2.4 m，球從D點飛出后的運動過程中相對水平面上升的最大高度h0.8 m，取g10 m/s2，不計空氣阻力，求：圖11(1)小球釋放點到B點的高度H；(2)經(jīng)過圓弧槽最低點C時軌道對小球的支持力大小N.答案(1)0.95 m(2)34 N解析(1)設(shè)小球在飛行過程中通過最高點P的速度為v0，P到D和P到Q可視為兩個對稱的平拋運動，則有：hgt2，v0t，可得：v03 m/s在D點有：vygt4 m/s在D點的合速度大小為：v5 m/s設(shè)v與水平方向夾角為，cos A到D過程機械能守恒：mgHmgRcos mv2聯(lián)立解得：H0.95 m(2)設(shè)小球經(jīng)過C點時速度為vC，A到C過程機械能守恒：mg(HR)mv由牛頓第二定律有，Nmgm聯(lián)立解得N34 N.【考點】機械能守恒定律在多過程問題中的應(yīng)用【題點】應(yīng)用機械能守恒定律處理單體多過程問題