2.1 隨機變量及其概率分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解隨機變量的含義，了解隨機變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.2.理解隨機變量x的概率分布，掌握兩點分布.3.會求簡單的分布知識點一隨機變量思考1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果，這種試驗結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？思考2在一塊地里種10棵樹苗，成活的樹苗棵數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？梳理(1)隨機變量的定義一般地，如果_的結(jié)果可以用一個_來表示，那么這樣的變量叫做_(2)隨機變量的表示方法隨機變量通常用大寫拉丁字母_(或小寫希臘字母，)等表示隨機變量取的可能值常用小寫拉丁字母_(加上適當(dāng)下標(biāo))等表示知識點二隨機變量的概率分布思考擲一枚骰子，所得點數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？當(dāng)X取不同的值時，其概率分別是多少？你能用表格表示X與P的對應(yīng)關(guān)系嗎？梳理(1)隨機變量X的概率分布列一般地，假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1，x2，xn，且P(Xxi)_，i1,2,3，n，則稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，也可以用下表表示Xx1x2xnPp1p2pn通常將上表稱為隨機變量X的概率分布表，它和都叫做隨機變量X的概率分布顯然，這里的pi(i1,2，n)滿足條件pi_0，p1p2pn_.(2)01分布(或兩點分布)隨機變量X只取兩個可能值0和1，這一類概率分布稱為01分布或兩點分布，并記為_分布或_，此處“”表示“_”類型一隨機變量的概念例1下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量；(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(4)明年某天濟南青島的某次列車到達青島站的時間反思與感悟隨機變量的辨析方法(1)隨機試驗的結(jié)果的可變性，即每次試驗對應(yīng)的結(jié)果不盡相同(2)隨機試驗的結(jié)果的不確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果如果一個隨機試驗的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點，則該變量即為隨機變量跟蹤訓(xùn)練1判斷下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由(1)某天廣電局信息臺接到咨詢電話的個數(shù)；(2)某運動員在某場比賽中(48分鐘)，上場比賽的時間；(3)在一次繪畫作品評比中設(shè)有一、二、三等獎，你的一件作品獲得的獎次；(4)體積為64 cm3的正方體的棱長類型二隨機變量的取值引申探究在本例(1)的條件下，若規(guī)定取出一個紅球贏2元，而取出一個白球輸1元，以表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？例2寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果(1)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)為X；(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3個球，取出的球的最大號碼記為X.反思與感悟解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機變量的所有可能的取值，以及其取每一個值時對應(yīng)的意義，即一個隨機變量的取值可能對應(yīng)一個或多個隨機試驗的結(jié)果，解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果跟蹤訓(xùn)練2寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果(1)從學(xué)?；丶乙?jīng)過3個紅綠燈口，可能遇到紅燈的次數(shù)；(2)電臺在每個整點都報時，報時所需時間為0.5分鐘，某人隨機打開收音機對時間，他所等待的時間為分鐘類型三隨機變量的分布列例3設(shè)隨機變量X的分布列為P(X)ak(k1,2,3,4,5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P(X)；(3)求P(<X<)反思與感悟利用概率分布及其性質(zhì)解題時要注意以下兩個問題(1)X的各個取值表示的事件是互斥的(2)不僅要注意i1，而且要注意pi0，i1,2，n.跟蹤訓(xùn)練3(1)下面是某同學(xué)求得的離散型隨機變量X的概率分布表X101P試說明該同學(xué)的計算結(jié)果是否正確(2)設(shè)是一個離散型隨機變量，其概率分布如下表：101P12qq2求q的值；求P(<0)，P(0)引申探究若將本例條件中5個球改為6個球，最小號碼改為最大號碼，其他條件不變，試寫出隨機變量X的概率分布例4一袋中裝有5個球，編號分別為1,2,3,4,5.在袋中同時取3個球，以X表示取出的3個球中的最小號碼，寫出隨機變量X的概率分布反思與感悟求隨機變量的概率分布的步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義(2)利用概率的有關(guān)知識，求出隨機變量取每個值的概率(3)按規(guī)范形式寫出概率分布，并用概率分布的性質(zhì)驗證跟蹤訓(xùn)練4袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球為止，求取球次數(shù)X的概率分布1給出下列四個命題：15秒內(nèi)，通過某十字路口的汽車的數(shù)量是隨機變量；在一段時間內(nèi)，某候車室內(nèi)候車的旅客人數(shù)是隨機變量；一條河流每年的最大流量是隨機變量；一個劇場有三個出口，散場后某一出口退場的人數(shù)是隨機變量其中是真命題的有_(填序號)2設(shè)離散型隨機變量X的概率分布如下：X1234Ppp則p的值為_3拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和記為X，那么X5表示的隨機試驗的結(jié)果是_4從標(biāo)有110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機變量X的可能取值有_個5甲、乙兩隊員進行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”用表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出“6”時表示的試驗結(jié)果1隨機變量的三個特征(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗之前不能確定取值2求隨機變量的分布列應(yīng)注意的幾個問題(1)隨機變量X的分布列實質(zhì)上就是隨機變量X與這一變量所對應(yīng)的概率P的分布表，它從整體上反映了隨機變量取各個值的可能性的大小，反映了隨機變量取值的規(guī)律(2)在處理隨機變量的概率分布時，先根據(jù)隨機變量的實際意義，利用試驗結(jié)果找出隨機變量的取值，再求相應(yīng)的概率是常用的方法(3)求出概率分布后注意運用概率分布的兩條性質(zhì)檢驗所求的概率分布是否正確答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1可以，可用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上思考2X0,1,2,3，10.梳理(1)隨機試驗變量隨機變量(2)X，Y，Zx，y，z知識點二思考(1)X1,2,3,4,5,6，概率均為.(2)X與P的對應(yīng)關(guān)系如下.X123456P梳理(1)pi1(2)X01X兩點分布服從題型探究例1解(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，是隨機變化的，因此是隨機變量(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，是隨機變化的，因此是隨機變量(3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，是隨機變化的，因此是隨機變量(4)濟南青島的某次列車到達青島站的時間每次都是隨機的，可能提前，可能準(zhǔn)時，也可能晚點，因此是隨機變量跟蹤訓(xùn)練1解(1)接到咨詢電話的個數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個結(jié)果都是隨機的，因此是隨機變量(2)該運動員在某場比賽的上場時間在0,48內(nèi)，出現(xiàn)哪一個結(jié)果都是隨機的，因此是隨機變量(3)獲得的獎次可能是1,2,3，出現(xiàn)哪一個結(jié)果都是隨機的，因此是隨機變量(4)體積為64 cm3的正方體的棱長為4 cm，為定值，因此不是隨機變量例2解(1)X0表示取5個球全是紅球；X1表示取1個白球，4個紅球；X2表示取2個白球，3個紅球；X3表示取3個白球，2個紅球(2)X3表示取出的球編號為1,2,3；X4表示取出的球編號為1,2,4；1,3,4或2,3,4；X5表示取出的球編號為1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.引申探究解10表示取5個球全是紅球；7表示取1個白球，4個紅球；4表示取2個白球，3個紅球；1表示取3個白球，2個紅球跟蹤訓(xùn)練2解(1)可取0,1,2,3，0表示遇到紅燈的次數(shù)為0；1表示遇到紅燈的次數(shù)為1；2表示遇到紅燈的次數(shù)為2；3表示遇到紅燈的次數(shù)為3.(2)的可能取值為區(qū)間0,59.5內(nèi)的任何一個值，每一個可能取值表示他所等待的時間例3解(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)P(X)k(k1,2,3,4,5)，P(X)P(X)P(X)P(X1).(3)當(dāng)<X<，只有X，時滿足，故P(<X<)P(X)P(X)P(X).跟蹤訓(xùn)練3解(1)因為P(X1)P(X0)P(X1)，不滿足概率之和為1的性質(zhì)，因而該同學(xué)的計算結(jié)果不正確(2)由概率分布的性質(zhì)，得12q0，q20，(12q)q21，所以q1.P(<0)P(1)，P(0)P(1)P(0)12.例4解隨機變量X的可能取值為1,2,3.當(dāng)X1時，即取出的3個球中最小號碼為1，則其他2個球只能在編號為2,3,4,5的4個球中取，故有P(X1)；當(dāng)X2時，即取出的3個球中最小號碼為2，則其他2個球只能在編號為3,4,5的3個球中取，故有P(X2)；當(dāng)X3時，即取出的3個球中最小號碼為3，則其他2個球只能是編號為4,5的2個球，故有P(X3).因此，X的概率分布如下表：X123P引申探究解隨機變量X的可能取值為3,4,5,6.從袋中隨機地取出3個球，包含的基本事件總數(shù)為C：事件“X3”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X4”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X5”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X6”包含的基本事件總數(shù)為CC，從而有P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以隨機變量X的概率分布如下表：X3456P跟蹤訓(xùn)練4解X的可能取值為1,2,3,4,5，則第1次取到白球的概率為P(X1)，第2次取到白球的概率為P(X2)，第3次取到白球的概率為P(X3)，第4次取到白球的概率為P(X4)，第5次取到白球的概率為P(X5)，所以X的概率分布如下表：X12345P當(dāng)堂訓(xùn)練12.3一枚3點，一枚2點或一枚1點，一枚4點4175解根據(jù)題意可知，6表示甲在前5局中勝3局且在第6局中勝出或乙在前5局中勝3局且在第6局中勝出