第2講 一元二次不等式的解法 本專題在初中學(xué)習(xí)方程、不等和函數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)高中學(xué)習(xí)的需要，共同學(xué)習(xí)簡單的二次方程組及一元二次不等式的解法?！局R梳理】一元二次不等式的解：函數(shù)、方程與不等式000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實根x1,x2(x1x2)有兩相等實根x1x2無實根ax2bxc0(a0)的解集x<x1或x>x2x一切實數(shù)ax2bxc0(a0)的解集x1xx2無解無解今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以1，將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式【高效演練】1.下列哪個不等式是一元二次不等式（）Ax2+x1 Bx2+10Cx2+10 Dx+10【解析】只有是一元二次不等式，而+10含有根式，沒有定義次數(shù)，0是分式不等式，不定義次數(shù)，x+10是一元一次不等式故選：A【答案】A2不等式的解集是（ ）A或B或CD 【解析】由，可得；，所以原不等式的解集為?！敬鸢浮緾3.一元二次不等式ax2+bx+c0的解集為R，則必有（）A BC D【分析】由題意，結(jié)合圖象與二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案4.一元二次不等式2kx2+kx0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（）A B C D【分析】由二次項系數(shù)小于0，對應(yīng)的判別式小于0聯(lián)立求解【解答】解：由一元二次不等式2kx2+kx0對一切實數(shù)x都成立，則，解得3k0綜上，滿足一元二次不等式2kx2+kx0對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是【答案】A【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了“三個二次”的結(jié)合解題。5.已知二次函數(shù)y=x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次不等式x2+2x+m0的解集為 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點，再寫出x軸下方部分的x的取值范圍即可【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，主要利用了二次函數(shù)的對稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想，難點在于先求出函數(shù)圖象與x軸的另一個交點坐標(biāo)6.解下列不等式：(1)x27x120； (2)x22x10；(3)x22x30； (4)x22x20.【解析】(1)方程x27x120的解為x13，x24.而yx27x12的圖象開口向上，可得原不等式x27x120的解集是x3或x4.(2)方程x22x10有兩個相同的解x1x21.而yx22x1的圖象開口向上，可得原不等式x22x10的解集為無解(3)不等式兩邊同乘以1，原不等式可化為x22x30.方程x22x30的解為x13，x21.而yx22x3的圖象開口向上，可得原不等式x22x30的解集是3x1(4)因為0，所以方程x22x20無實數(shù)解，而yx22x2的圖象開口向上，可得原不等式x22x20的解集為一切實數(shù)。7.已知一元二次不等式x2axb0的解集是1x3；（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解不等式 【分析】（1）由題意可得1和3是x2axb=0的實數(shù)根，利用韋達定理求得 a和b的值（2）不等式即1，即0，即（x3）（x+7）0，解一元二次不等式，求得x的范圍【解答】解：（1）因為不等式 一元二次不等式x2axb0的解集是1x3；1和3是x2axb=0的實數(shù)根，1+3=a，13=b，即 a=4，b=3（2）不等式1，即為1，即0，即（x3）（x+7）0，x3，或 x7，故原不等式的解集為x3或 x7【點評】本題主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題8不等式x2axb<0的解集為2<x<3，求bx2ax1>0的解集為.【解析】由題意知2,3是方程x2axb0的解，不等式bx2ax1>0為6x25x1>0,6x25x1<0， 解集為 9.解關(guān)于x的不等式：ax2(a+1)x+10【解析】若a=0，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或；若a0，原不等式，其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當(dāng)a=1時，原不等式無解；（2）當(dāng)a1時，原不等式；