第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一排列的概念從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)思考1讓你安排這項(xiàng)活動(dòng)需要分幾步？思考2甲丙和丙甲是相同的排法嗎？梳理一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照_排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列知識(shí)點(diǎn)二排列數(shù)思考1從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？思考2從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？思考3從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)(mn)元素排成一列，共有多少種不同排法？梳理排列數(shù)及排列數(shù)公式排列數(shù)全排列定義從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的_，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)n個(gè)不同元素_的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列表示法AA公式乘積形式An(n1)(n2)(nm1)An(n1)(n2)321階乘形式A_性質(zhì)A1；0！1類(lèi)型一排列的概念例1下列問(wèn)題是排列問(wèn)題的為_(kāi)選2個(gè)小組分別去植樹(shù)和種菜；選2個(gè)小組分別去種菜；某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信；從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字相除；10個(gè)車(chē)站，站與站間的車(chē)票反思與感悟判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的思路跟蹤訓(xùn)練1下列哪些問(wèn)題是排列問(wèn)題(1)從10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開(kāi)會(huì)；(2)從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相乘；(3)以圓上的10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)作弦；(4)20個(gè)車(chē)站，站與站間的車(chē)票價(jià)格；(5)平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？類(lèi)型二排列數(shù)及其應(yīng)用例2(1)計(jì)算：_.(2)計(jì)算：_.反思與感悟(1)排列數(shù)公式的逆用：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫(xiě)成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù)(2)利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)可利用連乘形式也可利用階乘形式當(dāng)A中m已知且較小時(shí)用連乘形式，當(dāng)m較大或?yàn)閰?shù)時(shí)用階乘形式(3)應(yīng)用排列數(shù)公式可以對(duì)含有排列數(shù)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明，化簡(jiǎn)的過(guò)程中要對(duì)排列數(shù)進(jìn)行變形，并要熟悉排列數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，解題時(shí)要靈活地運(yùn)用如下變式：n！n(n1)！.AnA.nn！(n1)！n！.跟蹤訓(xùn)練2(1)用排列數(shù)表示(55n)(56n)(69n)(nN*，且n<55)_；(2)計(jì)算2AA_.引申探究把本例的方程改為不等式“A<140A”，求它的解集例3解方程A140A.反思與感悟利用排列數(shù)公式展開(kāi)即得到關(guān)于x的方程(或不等式)，但由于x存在于排列數(shù)中，故應(yīng)考慮排列數(shù)對(duì)x的制約，避免出現(xiàn)增根跟蹤訓(xùn)練3不等式A<6A的解集為_(kāi)類(lèi)型三排列的列舉問(wèn)題例4寫(xiě)出下列問(wèn)題的所有排列：(1)A、B、C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，共有多少種不同的排列方法？(2)北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)該有多少種機(jī)票？反思與感悟用樹(shù)狀圖解決簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題是常見(jiàn)的解題方法它能很好地確定排列中各元素的先后順序，利用樹(shù)狀圖可具體地列出各種情況，避免排列的重復(fù)和遺漏跟蹤訓(xùn)練4從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)(1)能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)，并寫(xiě)出這些三位數(shù)；(2)若組成的這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)，并寫(xiě)出這些三位數(shù)1若將(x3)(x4)(x5)(x12)(x13)，(xN*，x>13)表示為A的形式，則可表示為_(kāi)2下列問(wèn)題中屬于排列問(wèn)題的為_(kāi)(填序號(hào))從10個(gè)人中選2人分別去種樹(shù)和掃地；從10個(gè)人中選2人去掃地；從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算3從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的結(jié)果有_個(gè)4已知A30，則x_.5寫(xiě)出下列問(wèn)題的所有排列：(1)從編號(hào)為1,2,3,4,5的五名同學(xué)中選出兩名同學(xué)任正、副班長(zhǎng)；(2)A、B、C、D四名同學(xué)排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四1判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列的思路排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān)這就是說(shuō)，在判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列時(shí)，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個(gè)，若結(jié)果變化，則是排列問(wèn)題，否則不是排列問(wèn)題2關(guān)于排列數(shù)的兩個(gè)公式(1)排列數(shù)的第一個(gè)公式An(n1)(n2)(nm1)適用m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式在運(yùn)用時(shí)要注意它的特點(diǎn)，從n起連續(xù)寫(xiě)出m個(gè)數(shù)的乘積即可(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“n、mN*，mn”的運(yùn)用答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1分兩步第1步確定上午的同學(xué)；第2步確定下午的同學(xué)思考2不是梳理一定的順序知識(shí)點(diǎn)二思考14312(個(gè))思考243224(個(gè))思考3n(n1)(n2)(nm1)種梳理所有排列的個(gè)數(shù)全部取出An!題型探究例1解析植樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，是排列問(wèn)題；不存在順序問(wèn)題，不是排列問(wèn)題；存在順序問(wèn)題，是排列問(wèn)題；兩個(gè)數(shù)相除與這兩個(gè)數(shù)的順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；車(chē)票使用時(shí)有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分，故車(chē)票的使用是有順序的，是排列問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練1解(1)2名學(xué)生開(kāi)會(huì)沒(méi)有順序，不是排列問(wèn)題(2)兩個(gè)數(shù)相乘，與這兩個(gè)數(shù)的順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題(3)弦的端點(diǎn)沒(méi)有先后順序，不是排列問(wèn)題(4)車(chē)票價(jià)格與起點(diǎn)和終點(diǎn)無(wú)關(guān)，故車(chē)票價(jià)格是無(wú)順序的，不是排列問(wèn)題(5)確定直線不是排列問(wèn)題，確定射線是排列問(wèn)題例2(1)1解析1.(2)1解析原式(nm)！(nm)！1.跟蹤訓(xùn)練2(1)A(2)72解析(1)55n,56n，69n中的最大數(shù)為69n，且共有69n(55n)115(個(gè))元素，(55n)(56n)(69n)A69n.(2)2AA2432432172.例3解根據(jù)題意，原方程等價(jià)于即整理得4x235x690(x3，xN*)，解得x3(xN*，舍去)引申探究解由A<140A知，x3且xN*，由排列數(shù)公式，原不等式可化為(2x1)2x(2x1)(2x2)<140x(x1)(x2)，解得3<x<，因?yàn)閤N*，所以x4或x5.所以不等式的解集為4,5跟蹤訓(xùn)練38解析由A<6A，得<6，化簡(jiǎn)得x219x84<0，解得7<x<12，又所以2x8，由及xN*，得x8.例4解(1)按三個(gè)位置依次安排，如圖故所有排列為ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.(2)列出每一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)情況，如圖所示故符合題意的機(jī)票種類(lèi)有：北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種跟蹤訓(xùn)練4解(1)組成三位數(shù)分三個(gè)步驟第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個(gè)位上的數(shù)字，有2種不同的排法由分步計(jì)數(shù)原理得共有33218(個(gè))不同的三位數(shù)畫(huà)出下列樹(shù)狀圖由樹(shù)狀圖知，所有的三位數(shù)為102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接畫(huà)出樹(shù)狀圖由樹(shù)狀圖知，符合條件的三位數(shù)有8個(gè)：201,210,230,231,301,302,310,312.當(dāng)堂訓(xùn)練1A2.3.124.65解(1)從五名同學(xué)中選出兩名同學(xué)任正、副班長(zhǎng)，共有A20(種)選法，形成的排列是12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.(2)因?yàn)锳不排第一，排第一位的情況有3類(lèi)(可從B、C、D中任選一人排)，而此時(shí)兼顧分析B的排法，列樹(shù)形圖如圖所以符合題意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14種