培優(yōu)點(diǎn)十四 外接球1正棱柱，長(zhǎng)方體的外接球球心是其中心例1：已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個(gè)球的表面積是（ ）ABCD【答案】C【解析】，故選C2補(bǔ)形法（補(bǔ)成長(zhǎng)方體）例2：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 【答案】【解析】，3依據(jù)垂直關(guān)系找球心例3：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以外接球的半徑是，設(shè)外接球的半徑是，球心到該底面的距離，如圖，則，由題設(shè)，最大體積對(duì)應(yīng)的高為，故，即，解之得，所以外接球的體積是，故答案為D對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、單選題1棱長(zhǎng)分別為2、的長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為，由題意可知：，則：，該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為本題選擇B選項(xiàng)2設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）A12B28C44D60【答案】B【解析】設(shè)底面三角形的外接圓半徑為，由正弦定理可得：，則，設(shè)外接球半徑為，結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑，外接球的表面積本題選擇B選項(xiàng)3把邊長(zhǎng)為3的正方形沿對(duì)角線對(duì)折，使得平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】把邊長(zhǎng)為3的正方形沿對(duì)角線對(duì)折，使得平面平面，則三棱錐的外接球直徑為，外接球的表面積為，故選C4某幾何體是由兩個(gè)同底面的三棱錐組成，其三視圖如下圖所示，則該幾何體外接球的面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題可知，該幾何體是由同底面不同棱的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成，其中底面是棱長(zhǎng)為的正三角形，一個(gè)是三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐，另一個(gè)是棱長(zhǎng)為的正四面體，如圖所示：該幾何體的外接球與棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球相同，因此外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，所以，所以該幾何體外接球面積，故選C5三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因此三角形外接圓半徑為，設(shè)外接球半徑為，則，故選D6如圖是邊長(zhǎng)為1的正方體，是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)，在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖所示，連結(jié)，交點(diǎn)為，連結(jié)，易知球心在直線上，設(shè)球的半徑，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，則該球的表面積本題選擇D選項(xiàng)7已知球的半徑為，三點(diǎn)在球的球面上，球心到平面的距離為，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】由余弦定理得：，設(shè)三角外接圓半徑為，由正弦定理可得：，則，又，解得：，則球的表面積本題選擇D選項(xiàng)8已知正四棱錐(底面四邊形是正方形，頂點(diǎn)P在底面的射影是底面的中心)的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為，若該正四棱錐的體積為，則此球的體積為（ ）ABCD【答案】C【解析】如圖，設(shè)正方形的中點(diǎn)為，正四棱錐的外接球心為，底面正方形的邊長(zhǎng)為，正四棱錐的體積為，則，在中由勾股定理可得：，解得，故選C9如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，連接，得到三棱錐若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意得該三棱錐的面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且平面，設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接圓的圓心為，則面，四邊形為直角梯形，由，及，得，外接球半徑為，該球的表面積故選A10四面體中，則此四面體外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意，中，可知是等邊三角形，的外接圓半徑，可得，可得，四面體高為設(shè)外接球，為球心，可得：，由解得：四面體外接球的表面積：故選A11將邊長(zhǎng)為2的正沿著高折起，使，若折起后四點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【解析】中，底面三角形的底面外接圓圓心為，半徑為，由余弦定理得到，再由正弦定理得到，見圖示：是球的弦，將底面的圓心平行于豎直向上提起，提起到的高度的一半，即為球心的位置，在直角三角形中，應(yīng)用勾股定理得到，即為球的半徑球的半徑該球的表面積為；故選B12在三棱錐中，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【解析】分別取，的中點(diǎn)，連接相應(yīng)的線段，由條件，可知，與，都是等腰三角形，平面，同理，是與的公垂線，球心在上，推導(dǎo)出，可以證明為中點(diǎn)，球半徑，外接球的表面積為故選D二、填空題13棱長(zhǎng)均為6的直三棱柱的外接球的表面積是_【答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為，則外接球的半徑，則外接球的表面積為14已知棱長(zhǎng)都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為_【答案】【解析】設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，解得于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖的內(nèi)切圓，其中，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，得，即，解得，內(nèi)切球的表面積為15已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，則此球的表面積等于_【答案】【解析】三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，設(shè)外接圓的半徑為，則，外接球的半徑為，球的表面積等于故答案為16在三棱錐中，則三棱錐外接球的體積的最小值為_【答案】【解析】如圖所示，三棱錐的外接圓即為長(zhǎng)方體的外接圓，外接圓的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)，那么，所以由題意，體積的最小值即為最小，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以半徑為，故體積的最小值為