2.2 排序不等式一、選擇題1.有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且xyz，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是()A.axbycz B.azbycxC.aybzcx D.aybxcz解析法一用特值法進(jìn)行驗證.令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A項：axbycz14914；B項：azbycx34310；C項：aybzcx26311；D項：aybxcz22913.故選B.法二由順序和亂序和反序和.可得azbycx最小.答案B二、填空題2.設(shè)a1，a2，a3，an為正數(shù)，那么Pa1a2an與Q的大小關(guān)系是_.解析假設(shè)a1a2a3an，則，并且aaaa，Pa1a2a3an，是反順和，Q是亂順和，由排序不等式定理PQ.答案PQ三、解答題3.設(shè)a1，a2，an為正數(shù)，求證：a1a2an.證明不妨設(shè)a1>a2>>an>0，則有a>a>>a也有<<<，由排序原理：亂序和逆序和，得：a1a2an.4.設(shè)A、B、C表示ABC的三個內(nèi)角的弧度數(shù)，a，b，c表示其對邊，求證：.證明法一不妨設(shè)A>B>C，則有a>b>c，由排序原理：順序和亂序和.aAbBcCaBbCcA；aAbBcCaCbAcB；aAbBcCaAbBcC.上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).法二不妨設(shè)A>B>C，則有a>b>c，由排序不等式，即aAbBcC(abc)，.5.設(shè)a，b，c為正數(shù)，利用排序不等式證明a3b3c33abc.證明不妨設(shè)abc>0，a2b2c2，由排序原理：順序和逆序和，得：a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2b，c3a3a2cc2a，三式相加得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2).又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以2(a3b3c3)6abc，a3b3c33abc.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立.6.設(shè)a，b，c是正實數(shù)，求證：aabbcc(abc).證明不妨設(shè)abc>0，則lg alg blg c.據(jù)排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得：3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc).故aabbcc(abc).7.設(shè)xi，yi (i1，2，n)是實數(shù)，且x1x2xn，y1y2yn，而z1，z2，zn是y1，y2，yn的一個排列.求證： (xiyi)2 (xizi)2.證明要證 (xiyi)2 (xizi)2只需證y2xiyiz2xizi.因為yz，只需證xizixiyi.而上式左邊為亂序和，右邊為順序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立.8.已知a，b，c為正數(shù)，且兩兩不等，求證：2(a3b3c3)>a2(bc)b2(ac)c2(ab).證明不妨設(shè)a>b>c>0.則a2>b2>c2，ab>ac>bc，a2(ab)b2(ac)c2(bc)>a2(bc)b2(ac)c2(ab)，即a3c3a2bb2ab2cc2b>a2(bc)b2(ac)c2(ab)，又a2>b2>c2，a>b>c，a2bb2a<a3b3，b2cc2b<b3c3.即a2bb2ab2cc2b<a32b3c3，所以有2(a3b3c3)>a2(bc)b2(ac)c2(ab).