2.2.3 圓與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練1兩圓相交于點(diǎn)A(1,3)，B(m，1)，兩圓的圓心均在直線l：xyc0上，則mc_.解析：由題意可知，ABl，由于k11，故kAB1，即1，解得m5.又AB的中點(diǎn)在直線l上，故31c0，解得c2.所以mc523.答案：32圓C1：x2y21與圓C2：x2y22x2y10的公共弦所在直線被圓C3：(x1)2(y1)2所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)解析：由題意圓C1和圓C2公共弦所在的直線l為xy10.圓C3的圓心為(1,1)，其到l的距離d.由條件知，r2d2，弦長(zhǎng)為2.答案：3點(diǎn)P在圓O: x2y21上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓C：(x3)2y21上運(yùn)動(dòng)，則PQ的最小值為_(kāi)解析：如圖設(shè)連心線OC與圓O交于點(diǎn)P，與圓C交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在P處，點(diǎn)Q在Q處時(shí)PQ最小，最小值為PQOCr1r21.答案：14若a2b24，則兩圓(xa)2y21與x2(yb)21的位置關(guān)系是_解析：兩圓的圓心分別為O1(a,0)，O2(0，b)，半徑r1r21，O1O22r1r2，兩圓外切答案：外切5設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離C1C2_.解析：依題意，可設(shè)與兩坐標(biāo)軸相切的圓的圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑長(zhǎng)為r，其中ra0，因此圓的方程是(xa)2(ya)2a2，由圓過(guò)點(diǎn)(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即a210a170，則該方程的兩根分別是圓心C1，C2的橫坐標(biāo)，所以C1C28.答案：86與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析：曲線化為(x6)2(y6)218，其圓心到直線xy20的距離為d5.如圖所示，所求的最小圓的圓心在直線yx上，其到直線的距離d，即為其半徑，圓心坐標(biāo)為(2,2)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)22.答案：(x2)2(y2)227已知圓C1：x2y22x8y80，圓C2：x2y24x4y20，試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系解：法一：圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組得x2y10，即y.把代入，并整理，得x22x30, 其判別式(2)241(3)16>0，所以，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，把x1，x2分別代入方程，得到y(tǒng)1，y2，因此圓C1與圓C2有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)所以?xún)蓤A相交法二：把圓C1的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x1)2(y4)225.圓C1的圓心是點(diǎn)(1，4)，半徑長(zhǎng)r15.把圓C2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x2)2(y2)210，圓C2的圓心是點(diǎn)(2,2)，半徑長(zhǎng)r2.圓C1與圓C2的連心線的長(zhǎng)為3，圓C1與圓C2的兩半徑長(zhǎng)之和是r1r25，兩半徑長(zhǎng)之差r1r25.而5<3<5，即r1r2<3<r1r2，所以圓C1與圓C2相交，它們有兩個(gè)公共點(diǎn)所以圓C1與圓C2相交8圓O1的方程為x2(y1)24，圓O2的圓心O2(2,1)(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程，并求內(nèi)公切線方程；(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點(diǎn)，且AB2，求圓O2的方程解：(1)由兩圓外切，O1O2r1r2，r2O1O2r12(1)，故圓O2的方程是(x2)2(y1)2128，兩圓的方程相減，即得兩圓內(nèi)公切線的方程為xy120.(2)設(shè)圓O2的方程為：(x2)2(y1)2r.圓O1的方程為x2(y1)24，此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程：4x4yr80.作O1HAB，則AHAB，O1H.又圓心(0，1)到直線的距離為，得r4或r20，故圓O2的方程為(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.高考水平訓(xùn)練1若圓x2y24與圓x2y22ay60(a0)的公共弦的長(zhǎng)為2，則a_.解析：如圖，設(shè)兩圓的公共弦為AB，AB交y軸于點(diǎn)C，連結(jié)OA，則OA2.把x2y24與x2y22ay60相減，得2ay2，即y為公共弦AB所在直線的方程，所以O(shè)C.因?yàn)锳B2，所以AC，在RtAOC中，OC2OA2AC2，即431，因?yàn)?a0，所以a1.答案：12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_解析：x2y28x150化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y21，則該圓的圓心為M(4,0)，半徑長(zhǎng)為1.若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑長(zhǎng)的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需要圓心M(4,0)到直線ykx2的距離d11即可，所以有d2，化簡(jiǎn)得k(3k4)0，解得0k(依據(jù)二次函數(shù)y3x24x的圖象求解)，所以k的最大值是.答案：3已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，B(0,4)的圓C與圓x2y22x4y40相交，它們的公共弦平行于直線2xy10，求圓C的方程解：設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0，則兩圓的公共弦方程為(D2)x(E4)yF40，由題意得圓C的方程為x2y26x160，即(x3)2y225.4已知點(diǎn)P(2，3)和以點(diǎn)Q為圓心的圓(x4)2(y2)29.(1)Q為PQ中點(diǎn)，畫(huà)出以PQ為直徑，Q為圓心的圓，再求出它的方程；(2)作出以Q為圓心的圓和以Q為圓心的圓的兩個(gè)交點(diǎn)A，B.直線PA，PB是以Q為圓心的圓的切線嗎？為什么？(3)求直線AB的方程解：(1)已知圓的方程為(x4)2(y2)232，Q(4,2)PQ中點(diǎn)為Q(1，)，半徑為r，故以Q為圓心的圓的方程為(x1)2(y)2(如圖所示)(2)PQ是圓Q的直徑，PAAQ，PA是圓Q的切線，同理PB也是圓Q的切線(3)將圓Q與圓Q方程相減，得6x5y250.即直線AB的方程為6x5y250.