專題09 導(dǎo)數(shù)意義及導(dǎo)數(shù)運算一、 考綱要求:1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)yC(C為常數(shù))，yx，y，yx2yx3，y的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并了解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)二、概念掌握及解題上的注意點：1奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)2(f(x)0)3af(x)bg(x)af(x)bg(x)4函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”5.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下(1）)遇到連乘的形式，先展開化為多項式形式，再求導(dǎo).(2）)遇到根式形式，先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo).(3）)遇到復(fù)雜分式，先將分式化簡，再求導(dǎo).4）.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元處理.6.求函數(shù)圖象的切線方程的注意事項:(1）)首先應(yīng)判斷所給點是不是切點，如果不是，需將切點設(shè)出.(2）)切點既在函數(shù)的圖象上，也在切線上，可將切點代入兩者的解析式建立方程組.(3）)在切點處的導(dǎo)數(shù)值對應(yīng)切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件.(4）)曲線上一點處的切線與該曲線并不一定只有一個公共點.(5）)當曲線y=f(x)在點(x0,fx0)處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是xx0.三、高考考題題例分析：例1.（2018全國卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（）Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x解析：函數(shù)f（x）=x3+（a1）x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，可得a=1，所以函數(shù)f（x）=x3+x，可得f（x）=3x2+1，曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線的斜率為：1，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為：y=x故選：D例2.（2018全國卷II）曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為解析：y=2ln（x+1），y=，當x=0時，y=2，曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x故答案為：y=2x例3.（2018全國卷）曲線y=（ax+1）ex在點（0，1）處的切線的斜率為2，則a=3例4.(2017全國卷)曲線yx在點(1,2)處的切線方程為_xy10解析：y2x，y|x11，即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k1，切線方程為y2x1，即xy10.例5.(2016全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)在點(1，3)處的切線方程是_y2x1解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以當x>0時，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)3，則f(1)2.所以yf(x)在點(1，3)處的切線方程為y32(x1)，即y2x1.例6.(2017天津高考)已知aR，設(shè)函數(shù)f(x)axln x的圖象在點(1，f(1)處的切線為l，則l在y軸上的截距為_解析：f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切線l的斜率為a1，且過點(1，a)，切線l的方程為ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y軸上的截距為1.導(dǎo)數(shù)意義及導(dǎo)數(shù)運算練習(xí)一、 選擇題 1函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)C解析：f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)2曲線f(x)2xex與y軸的交點為P，則曲線在點P處的切線方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy103已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln x，則f(1)等于()Ae B1 C1DeB 解析：由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，則f(1)1.4曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線方程為()Ay3x1By3x1Cy3x1Dy3x1A解析：由題意得y(x1)ex2，則曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線的斜率為(01)e023，故曲線yxex2x1在點(0，1)處的切線方程為y13x，即y3x1.5若直線ykx1是函數(shù)f(x)ln x圖象的一條切線，則k()A BCeDe2A 解析：由f(x)ln x，得f(x).設(shè)切點為(x0，ln x0)，則解得x0e2，則k，故選A6.已知直線ykx1與曲線yx3mxn相切于點A(1,3)，則n()A1 B1C3 D4C解析：對于yx3mxn，y3x2m，k3m，又k13,1mn3，可解得n3.7已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)()A1B0C2D48.曲線y1在點(1，1)處的切線方程為()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x29.若直線yax是曲線y2ln x1的一條切線，則實數(shù)a()AeB2eCeD2eB解析：依題意，設(shè)直線yax與曲線y2ln x1的切點的橫坐標為x0，則有y|xx0，于是有解得x0，a2e，選B.10已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m的值為()A1 B3C4 D2D解析：f(x)，直線l的斜率為kf(1)1，又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0，解得m2.11曲線ye在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為()Ae2B4e2C2e2De2D解析：易知曲線ye在點(4，e2)處的切線斜率存在，設(shè)其為k.ye，kee2，切線方程為ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所求面積為S2|e2|e2.12已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m的值為()A1B3C4D2二、填空題13(2016全國卷)若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_.1ln 2解析：分別求出兩個對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出兩個切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)得到兩個切點坐標之間的關(guān)系，進而求出切線斜率，求出b的值求得(ln x2)，ln(x1).設(shè)曲線yln x2上的切點為(x1，y1)，曲線yln(x1)上的切點為(x2，y2)，則k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln x1，所以k2，所以x1，y1ln22ln 2，所以by1kx12ln 211ln 2.14已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(1，f(1)處的切線過點(2,7)，則a_. 1解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)切線過點(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.15曲線yaln x(a0)在x1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，則a_.16設(shè)曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_(1,1)解析：函數(shù)yex的導(dǎo)函數(shù)為yex，曲線yex在點(0,1)處的切線的斜率k1e01.設(shè)P(x0，y0)(x00)，函數(shù)y的導(dǎo)函數(shù)為y，曲線y(x0)在點P處的切線的斜率k2.易知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又點P在曲線y(x0)上，y01，故點P的坐標為(1,1)三、解答題17求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y.解(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x.(2)y(x1)(x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y.18已知函數(shù)f(x)x34x25x4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)求經(jīng)過點A(2，2)的曲線f(x)的切線方程19已知函數(shù)f(x)x32x23x(xR)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍. 解(1)由題意得f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是1，)(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)