專題30 復(fù)數(shù)的概念及運算本專題特別注意：1.復(fù)數(shù)四則運算2. 復(fù)數(shù)加減的幾何意義3. 復(fù)數(shù)與數(shù)列的綜合4.復(fù)數(shù)與二項式定理的綜合問題 5. 復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)問題【學習目標】1理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，并會應(yīng)用2了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的表示方法，能進行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算3了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義，會簡單應(yīng)用【方法總結(jié)】1.設(shè)zabi(a，bR)，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用的方法.2.實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，兩個純虛數(shù)的積是實數(shù).3.復(fù)數(shù)問題幾何化，利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論，有效利用數(shù)和形的結(jié)合，取得事半功倍的效果.【高考模擬】一、單選題1已知，其中是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】化簡原式，利用復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，求得復(fù)數(shù)，從而可得結(jié)果.【詳解】，故選C.【點睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.2已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的坐標為（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】將復(fù)數(shù)的分子分母同乘以1+i，利用多項式的乘法分子展開，求出對應(yīng)的點的坐標【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3（2017太原市一模）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計算后取所得結(jié)果的共軛即可.【詳解】，故所求共軛復(fù)數(shù)為，故選A.【點睛】本題考察復(fù)數(shù)的概念及其運算，是基礎(chǔ)題.4已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列命題為真命題的是（ ）A 的共軛復(fù)數(shù)為 B 的虛部為-1C 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 D 【答案】D【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)z,再判斷每一個選項的真假.【點睛】(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的計算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義、實部虛部和模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的實部是a,虛部為b，不是bi.5歐拉公式 (為虛數(shù)本位）是瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)明的，將指數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的模為( )A B C 1 D 【答案】C【解析】【分析】直接由題意可得=cos+isin，再由復(fù)數(shù)模的計算公式得答案【詳解】由題意，=cos+isin，表示的復(fù)數(shù)的模為故選：C【點睛】本題以歐拉公式為背景，考查利用新定義解決問題的能力，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題6若在復(fù)平面內(nèi)，點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A 12 B 5 C D 【答案】D【解析】【分析】先求復(fù)數(shù)z,再求復(fù)數(shù)，再求它的虛部.【詳解】【點睛】(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的虛部概念，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的實部是a,虛部為b，不是bi.7讀了高中才知道，數(shù)絕對不止1,2,3啊，比如還有這種奇葩數(shù)，他的平方居然是負數(shù)！那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】A【解析】【分析】運用復(fù)數(shù)除法法則運算得到結(jié)果【詳解】由題意得，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為在第一象限，故選【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進行運算化成的形式即可得到答案8已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則下面說法正確的是（ ）A 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第四象限 B C 的虛部為1 D 【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則可得復(fù)數(shù)=2i2，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、虛部的定義、模的運算性質(zhì)即可得出【詳解】故選：C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、虛部的定義、模的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題9設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A 3 B C 9 D 10【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、模的計算公式即可得出【詳解】【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題10復(fù)數(shù)等于（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】化簡分式，分子、分母分別平方，再按照復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡可得結(jié)果.【詳解】，故選：C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，是基礎(chǔ)題11設(shè)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先求出，從而求出的值即可.【詳解】，共軛復(fù)數(shù)，則.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)以及共軛復(fù)數(shù)，是一道基礎(chǔ)題.12為虛數(shù)單位，則（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：由復(fù)數(shù)的基本運算性質(zhì),可得，其中為自然數(shù)，則，即可求解答案. 點睛：本題主要考查了虛數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記虛數(shù)的運算性質(zhì)，利用乘公比錯誤相減法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力.13歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】B【解析】分析：由歐拉公式，可得，結(jié)合三角函數(shù)值的符號，即可得出結(jié)論.詳解：由歐拉公式，可得，因為，所以表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第幾象限的問題，在解題的過程中，首先應(yīng)用歐拉公式將復(fù)數(shù)表示出來，之后借助于三角函數(shù)值的符號求得結(jié)果.14下列3個命題：若，則；若是純虛數(shù)，則；若，且，則.其中真命題的個數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3【答案】B【解析】分析：通過舉反例可判斷錯誤，由復(fù)數(shù)的乘法法則判斷正確，由復(fù)數(shù)的概念可判斷錯誤.點睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了復(fù)數(shù)的基本概念和性質(zhì)，特殊值排除法常可用于此類問題的求解.15對于任意的兩個數(shù)對和，定義運算，若，則復(fù)數(shù)為 （ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：利用定義，列出方程表示出，分子、分母同時乘以得到的值詳解：因為，又所以 所以 故選：D點睛：本題是新定義的問題，解題的關(guān)鍵是理解新定義，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決16已知復(fù)數(shù)滿足,則等于( )A B C D 【答案】C【解析】分析：由題可知，表示平行四邊形的相鄰兩邊，表示平行四邊形的一條對角線，求另一條一條對角線的長.點睛：本題考查復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，余弦定理等，屬中檔題.17定義運算，若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：先根據(jù)定義運算化簡求出復(fù)數(shù)z,再求詳解：由題得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以，所以，故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和共軛復(fù)數(shù)，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)18歐拉公式(為虛數(shù)單位)，是由著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，若將表示的復(fù)數(shù)記為，則的值為（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：由歐拉公式可求得，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得結(jié)論.詳解：，故選A.點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.19對于復(fù)數(shù)，給出下列三個運算式子：（1），（2），（3）.其中正確的個數(shù)是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得（1）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計算可得到（2）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算法則可判斷（3）正確，從而可得結(jié)果.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)模的公式、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)乘法的運算法則，意在考查基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，以及綜合運用所學知識解決問題的能力，屬于難題.20為虛數(shù)單位，則（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：由復(fù)數(shù)的基本運算得到，即，即可求解答案.詳解：由復(fù)數(shù)的運算可知，則，所以，故選C. 點睛：本題主要考查了虛數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記虛數(shù)的運算性質(zhì)，得到式子的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力. 21（1）設(shè)集合，且，求實數(shù)的取值范圍.（2）設(shè)，是兩個復(fù)數(shù)，已知，且是純虛數(shù)，求.【答案】(1) .（2）或.【解析】【分析】（1）移項通分，直接利用分式不等式的解法化簡集合，然后對分三種情況討論，分別利用包含關(guān)系列不等式求解即可；（2）設(shè)，由，可得，由是純虛數(shù)，可得，聯(lián)立求解即可的結(jié)果.【詳解】（2）解：設(shè)，+b2=22，即，又，且是純虛數(shù)，由得，.或.【點睛】本題主要考查集合的子集，以及復(fù)數(shù)的基本運算與基本概念，屬于中檔題. 復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.22已知【答案】【解析】【分析】把z1、z2代入關(guān)系式，化簡即可【詳解】【點睛】復(fù)數(shù)的運算，難點是乘除法法則，設(shè)，則，.23已知復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位當實數(shù)m取何值時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限，求實數(shù)m的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】分析：，利用純虛數(shù)的定義，由，解出即可得出利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由題意得，解出即可得出點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)知識、不等式的解法、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題24已知復(fù)數(shù)滿足: 求的值【答案】 【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式、復(fù)數(shù)相等即可得出.詳解：設(shè)，而即 則 點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運算，復(fù)數(shù)的模長的計算.25已知，為實數(shù).（1）若，求；（2）若，求實數(shù)，的值.【答案】（1）；（2）-3，2【解析】分析：（1）利用復(fù)數(shù)乘法的運算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義化簡，利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可；（2）利用復(fù)數(shù)除法的運算法則將，化為，由復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)果. 點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分26已知復(fù)數(shù).實數(shù)取什么值時，是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】(1) 當時，為實數(shù).(2) 當 時，為虛數(shù).(3) 不存在實數(shù)使得為純虛數(shù).【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念建立等量關(guān)系關(guān)系即可詳解：（1）若復(fù)數(shù)是實數(shù)則，即，即a=6點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，根據(jù)實部和虛部的對應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵27設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）證明：；（2），利用（1）的結(jié)論計算?！敬鸢浮?1)證明見解析.(2) .【解析】分析：（1）利用數(shù)學歸納法先證明，先證明當時成立，假設(shè)當時，命題成立，只需證明當時，命題也成立，證明過程注意三角函數(shù)和差公式的應(yīng)用；（2）由（1）結(jié)論得 ，結(jié)合誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果.詳解：（1）1當時，左邊，右邊，所以命題成立2假設(shè)當時，命題成立，即，則當時， 所以，當時，命題也成立綜上所述，（為正整數(shù)）成立（2） 由（1）結(jié)論得 點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)、歸納推理的應(yīng)用以及數(shù)學歸納法證明，屬于中檔題.利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗證時結(jié)論成立；（2）假設(shè)時結(jié)論正確，證明時結(jié)論正確（證明過程一定要用假設(shè)結(jié)論）；（3）得出結(jié)論.28已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）.（1）若是實數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）由復(fù)數(shù)的運算法則可得.據(jù)此得到關(guān)于實數(shù)m的方程組，解得.（2）結(jié)合(1)中的結(jié)果得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組可知.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)的方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.29如果，求實數(shù)的值.【答案】【解析】分析：由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件得到關(guān)于x,y的方程組，求解方程組可得.詳解：由題意得，解得.x點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充分必要條件及其應(yīng)用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、填空題30設(shè)是一元二次方程的兩個虛根，若，則實數(shù)_.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的兩個虛根，計算它們的乘積的?？傻玫闹?【詳解】【點睛】對于實系數(shù)的一元二次方程，當時，方程有兩個虛根且它們是一對共軛復(fù)數(shù)滿足.