三 排序不等式 1順序和、亂序和、反序和設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，稱a1b1a2b2anbn為這兩個實(shí)數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和)，稱a1bna2bn1anb1為這兩個實(shí)數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和)稱a1c1a2c2ancn為這兩個實(shí)數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和)2排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又稱為排序不等式)設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，則有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等號成立(反序和等于順序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可簡記作：反序和亂序和順序和點(diǎn)睛排序不等式也可以理解為兩實(shí)數(shù)序列同向單調(diào)時，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(diào)(一增一減)時，所得兩兩乘積之和最小例1已知a，b，c為正數(shù)，且abc，求證：.思路點(diǎn)撥分析題目中已明確abc，所以解答本題時可直接構(gòu)造兩個數(shù)組，再用排序不等式證明即可證明ab>0，于是，又c>0，從而，同理，從而.又由于順序和不小于亂序和，故可得.原不等式成立利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組1已知0<<<<，求證：sin cos sin cos sin cos >(sin 2sin 2sin 2)證明：0<<<<，且ysin x在為增函數(shù)，ycos x在為減函數(shù)，0<sin <sin <sin ，cos >cos >cos >0.sin cos sin cos sin cos >sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)2設(shè)x1，求證：1xx2x2n(2n1)xn.證明：x1，1xx2xn.由排序原理得12x2x4x2n1xnxxn1xn1xxn1即1x2x4x2n(n1)xn.又因?yàn)閤，x2，xn,1為1，x，x2，xn的一個排列，由排序原理得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，即xx3x2n1xn(n1)xn.將相加得1xx2x2n(2n1)xn.用排序不等式證明不等式(對所證不等式中的字母大小順序作出假設(shè))例2設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a10b10c10.思路點(diǎn)撥本題考查排序不等式的應(yīng)用，解答本題需要搞清：題目中沒有給出a，b，c三個數(shù)的大小順序，且a，b，c在不等式中的“地位”是對等的，故可以設(shè)abc，再利用排序不等式加以證明證明由對稱性，不妨設(shè) abc，于是a12b12c12，故由排序不等式：順序和亂序和，得.又因?yàn)閍11b11c11，.再次由排序不等式：反序和亂序和，得.所以由得a10b10c10.在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系，對于沒有給出大小關(guān)系的情況，要根據(jù)各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關(guān)系3設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明：由題意不妨設(shè)abc0，由不等式的單調(diào)性，知abacbc，.由排序不等式，知abacbcabacbcacb，即abc.4設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，求證：a1a2a3.證明：不妨設(shè) a1a2a3>0，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：順序和亂序和得a2a3a3a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3.1有兩組數(shù)：1,2,3與10,15,20，它們的順序和、反序和分別是()A100,85B100,80C95,80 D95,85解析：選B由順序和與反序和的定義可知順序和為100，反序和為80.2若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1a2b1b21，則下列代數(shù)式中值最大的是()Aa1b1a2b2 Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1 D.解析：選A因?yàn)?<a1<a2,0<b1<b2，所以由排序不等式可知a1b1a2b2最大3銳角三角形中，設(shè)P，Qacos Cbcos Bccos A，則P，Q的大小關(guān)系為()APQBPQCPQ D不能確定解析：選C不妨設(shè)ABC，則abc，cos Acos Bcos C，則由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.4兒子過生日要老爸買價格不同的禮品1件、2件及3件，現(xiàn)在選擇商店中單價為13元、20元和10元的禮品，至少要花()A76元 B20元C84元 D96元解析：選A設(shè)a11(件)，a22(件)，a33(件)，b110(元)，b213(元)，b320(元)，則由排序原理反序和最小知至少要花a1b3a2b2a3b112021331076(元)5已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一個排列，則1c12c23c3的最大值是_，最小值是_解析：由反序和亂序和順序和知，順序和最大，反序和最小，故最大值為32，最小值為28.答案：32286設(shè)正實(shí)數(shù)a1，a2，an的任一排列為 a1，a2，an，則的最小值為_解析：不妨設(shè)0<a1a2a3an，則.其反序和為n，則由亂序和不小于反序和知n， 的最小值為n.答案：n7設(shè)a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一個排序，則a12a23a34a4的取值范圍是_解析：a12a23a34a4的最大值為1222324230，最小值為1423324120，a12a23a34a4的取值范圍是20,30答案：20,308設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，用排序不等式證明aabbcc(abc).證明：由所證不等式的對稱性，不妨設(shè)abc>0，則lg alg blg c，據(jù)排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，以上兩式相加，再兩邊同加alg ablg bclg c，整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc)，故aabbcc(abc).9某學(xué)校舉行投籃比賽，按規(guī)則每個班級派三人參賽，第一人投m分鐘，第二人投n分鐘，第三人投p分鐘，某班級三名運(yùn)動員A，B，C每分鐘能投進(jìn)的次數(shù)分別為a，b，c，已知mnp，abc，如何派三人上場能取得最佳成績？解：mnp，abc，且由排序不等式知順序和為最大值，最大值為manbpc，此時分?jǐn)?shù)最高，三人上場順序是A第一，B第二，C第三10已知0<abc，求證：.證明：因?yàn)?<abc，所以0<abcabc，所以>0，又0<a2b2c2，所以是順序和， 是亂序和，由排序不等式可知順序和大于等于亂序和，即不等式成立