第二章 隨機(jī)變量及其分布 滾動(dòng)訓(xùn)練四(2.1～2.4) 一、選擇題 1．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是(　　) A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率 C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率 考點(diǎn)　隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的概念 題點(diǎn)　隨機(jī)變量的概念 答案　C 解析　A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量而不是變量，B，D中的量也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量． 2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,16)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，則c等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 考點(diǎn)　正態(tài)分布密度函數(shù)的概念 題點(diǎn)　正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用 答案　B 解析　由P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，可得正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝c對稱．而正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，ξ服從正態(tài)分布N(3,16)，所以μ＝3.故c的值為3. 3．設(shè)X～N，則X落在(－3.5，－0.5]內(nèi)的概率是(　　)(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%) A．95.44% B．99.74% C．4.56% D．0.26% 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計(jì)算 答案　B 解析　由X～N知，μ＝－2，σ＝， 則P(－3.5<X≤－0.5)＝P＝0.997 4. 4．設(shè)X為隨機(jī)變量且X～B(9，p)，若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝3，則P(X＝2)等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用二項(xiàng)分布求概率 答案　D 解析　∵X～B(9，p)，E(X)＝3，∴9p＝3，∴p＝， ∴P(X＝2)＝C27＝. 5．某工廠師徒二人加工相同型號的零件，是否加工出精品互不影響．已知師傅加工一個(gè)零件是精品的概率為，徒弟加工一個(gè)零件是精品的概率為，師徒二人各加工2個(gè)零件不全是精品的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　條件概率的定義及計(jì)算公式 題點(diǎn)　直接利用公式求條件概率 答案　A 解析　因?yàn)閹煾导庸ひ粋€(gè)零件是精品的概率為，徒弟加工一個(gè)零件是精品的概率為，師徒二人各加工2個(gè)零件不全是精品的對立事件是師徒二人各加工2個(gè)零件全是精品，所以師徒二人各加工2個(gè)零件不全是精品的概率為 P＝1－C2C2＝.故選A. 6．高三畢業(yè)時(shí)，甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，已知甲、乙二人相鄰，則甲、丙相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　條件概率的定義及計(jì)算公式 題點(diǎn)　直接利用公式求條件概率 答案　C 解析　設(shè)“甲、乙二人相鄰”為事件A，“甲、丙二人相鄰”為事件B，則所求概率為P(B|A)，P(B|A)＝，而P(A)＝＝， AB是表示事件“甲與乙、丙都相鄰”，則P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝＝. 7．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3，則D(3X＋5)等于(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì) 題點(diǎn)　方差性質(zhì)的應(yīng)用 答案　A 解析　E(X)＝1＋2＋3＝2. 所以D(X)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝， 所以D(3X＋5)＝9D(X)＝9＝6. 8．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量ξ＝|a－b|，則ξ的均值E(ξ)為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　常見的幾種均值 題點(diǎn)　與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值 答案　D 解析　∵拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)， ∴－<0，即>0，∴a與b同號， ∴ξ的取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P ∴E(ξ)＝0＋1＋2＝. 二、填空題 9．在一次三人象棋對抗賽中，甲勝乙的概率為0.4，乙勝丙的概率為0.5，丙勝甲的概率為0.6，比賽順序如下：第一局，甲對乙；第二局，第一局勝者對丙；第三局，第二局勝者對第一局?jǐn)≌?；第四局，第三局勝者對第二局?jǐn)≌撸畡t乙連勝四局的概率為________． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　0.09 解析　乙連勝四局，即乙先勝甲，然后勝丙，接著再勝甲，最后再勝丙，∴所求概率為P＝(1－0.4)0.5(1－0.4)0.5＝0.09. 10．一道數(shù)學(xué)難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率是________，問題得到解決的概率是________． 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 答案　　 解析　設(shè)“甲解決這道難題”為事件A，“乙解決這道難題”為事件B，則A，B相互獨(dú)立． 所以兩人都未解決的概率為P( )＝＝. 問題得到解決的概率為P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P( )＝1－＝. 11．某人參加駕照考試，共考6個(gè)科目，假設(shè)他通過各科考試的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是p.若此人未能通過的科目數(shù)ξ的均值是2，則p＝________. 考點(diǎn)　二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布的均值 題點(diǎn)　二項(xiàng)分布的均值 答案　 解析　因?yàn)橥ㄟ^各科考試的概率為p，所以不能通過考試的概率為1－p，易知ξ～B(6,1－p)，又E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝. 三、解答題 12．籃球運(yùn)動(dòng)員比賽投籃，命中得1分，不中得0分，已知甲運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率為p，且各次投籃互不影響． (1)若投籃1次的得分記為X，求方差D(X)的最大值； (2)當(dāng)(1)中D(X)取最大值時(shí)，求甲運(yùn)動(dòng)員投籃5次得4分的概率． 考點(diǎn)　三種常用分布的方差 題點(diǎn)　二項(xiàng)分布的方差 解　(1)依題意，得X的分布列為 X 0 1 P 1－p p ∴E(X)＝0(1－p)＋1p＝p， D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝－2＋， ∴當(dāng)p＝時(shí)，D(X)取得最大值，且最大值為. (2)由(1)可知p＝.記投籃5次的得分為Y，則Y～B，那么P(Y＝4)＝C4＝， 則甲運(yùn)動(dòng)員投籃5次得4分的概率為. 13．某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起，現(xiàn)要把這2件次品找出來，為此每次隨機(jī)抽取1件進(jìn)行測試，測試后不放回，直至次品全部被找出為止． (1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率； (2)設(shè)所要測試的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和均值． 考點(diǎn)　常見的幾種均值 題點(diǎn)　與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值 解　(1)設(shè)“第1次和第2次都抽到次品”為事件A， 則P(A)＝＝. (2)X的所有可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＋＝，P(X＝5)＝＋＝. X的分布列為 X 2 3 4 5 P 因此，E(X)＝2＋3＋4＋5＝. 四、探究與拓展 14．如圖所示，用A，B，C，D表示四類不同的元件連接成系統(tǒng)M.當(dāng)元件A，B至少有一個(gè)正常工作且元件C，D至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)M正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次為0.5,0.6,0.7,0.8.則元件連接成的系統(tǒng)M正常工作的概率P(M)等于(　　) A．0.752 B．0.988 C．0.168 D．0.832 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　相互獨(dú)立事件性質(zhì)的應(yīng)用 答案　A 解析　P(M)＝[1－P( )][1－P( )]＝0.752. 15．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立． (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比．分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因． 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì) 題點(diǎn)　均值在實(shí)際中的應(yīng)用 解　(1)X可能的取值為10,20,100，－200. 根據(jù)題意，有 P(X＝10)＝C12＝， P(X＝20)＝C21＝， P(X＝100)＝C30＝， P(X＝－200)＝C03＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為 1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. (3)X的均值為 E(X)＝10＋20＋100－200＝－. 這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)， 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大．