第六章第六章 計(jì)算全息計(jì)算全息第六章第六章 計(jì)算全息計(jì)算全息什么叫計(jì)算全息什么叫計(jì)算全息 借助參考光，利用光的干涉原理，可以將物光的復(fù)振幅借助參考光，利用光的干涉原理，可以將物光的復(fù)振幅（振幅和相位）以干涉條紋的形式記錄下來。我們可以稱之（振幅和相位）以干涉條紋的形式記錄下來。我們可以稱之為為光學(xué)編碼的方法光學(xué)編碼的方法。 如果不用光學(xué)的方法而是用如果不用光學(xué)的方法而是用人工的方法人工的方法進(jìn)行編碼制作全息進(jìn)行編碼制作全息圖，這圖，這就是計(jì)算全息圖就是計(jì)算全息圖（Computer-generated Hologram)。概述概述 計(jì)算全息圖不僅可以全面地記錄光波的振幅和相計(jì)算全息圖不僅可以全面地記錄光波的振幅和相位，而且能綜合出復(fù)雜的，或者世間根本不存在的位，而且能綜合出復(fù)雜的，或者世間根本不存在的物體的全息圖，因而具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)和極大的靈活物體的全息圖，因而具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)和極大的靈活性。從光學(xué)發(fā)展的歷史來看，計(jì)算全息首次將計(jì)算性。從光學(xué)發(fā)展的歷史來看，計(jì)算全息首次將計(jì)算機(jī)引入光學(xué)處理領(lǐng)域，計(jì)算全息圖成為機(jī)引入光學(xué)處理領(lǐng)域，計(jì)算全息圖成為數(shù)字信息數(shù)字信息和和光學(xué)信息光學(xué)信息之間有效的聯(lián)系環(huán)節(jié)，為光學(xué)和計(jì)算機(jī)科之間有效的聯(lián)系環(huán)節(jié)，為光學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的全面結(jié)合拉開了序幕。學(xué)的全面結(jié)合拉開了序幕。 計(jì)算全息的主要應(yīng)用范圍：計(jì)算全息的主要應(yīng)用范圍： 二維和三維物體像的顯示二維和三維物體像的顯示 在光學(xué)信息處理中用計(jì)算全息制作各種空間濾波器在光學(xué)信息處理中用計(jì)算全息制作各種空間濾波器產(chǎn)生特定波面用于全息干涉計(jì)量產(chǎn)生特定波面用于全息干涉計(jì)量 激光掃描器激光掃描器 數(shù)據(jù)存貯數(shù)據(jù)存貯計(jì)算全息圖的制作和再現(xiàn)過程的主要步驟計(jì)算全息圖的制作和再現(xiàn)過程的主要步驟： 抽樣：得到物體或波面在離散樣點(diǎn)上的值抽樣：得到物體或波面在離散樣點(diǎn)上的值 計(jì)算：計(jì)算物光波在全息平面上的光場分布計(jì)算：計(jì)算物光波在全息平面上的光場分布 編碼：把全息平面上光波的復(fù)振幅分布編碼成全息圖的透過率編碼：把全息平面上光波的復(fù)振幅分布編碼成全息圖的透過率變化變化 成圖：在計(jì)算機(jī)控制下，將全息圖的透過率變化在成圖設(shè)備上成圖：在計(jì)算機(jī)控制下，將全息圖的透過率變化在成圖設(shè)備上成圖。如果成圖設(shè)備分辨率不夠，再經(jīng)光學(xué)縮版得到實(shí)用的全成圖。如果成圖設(shè)備分辨率不夠，再經(jīng)光學(xué)縮版得到實(shí)用的全息圖息圖 再現(xiàn)再現(xiàn)一般計(jì)算全息的制作過程分為五步一般計(jì)算全息的制作過程分為五步（1）抽樣（）抽樣（2）計(jì)算（）計(jì)算（3）編碼（）編碼（4）繪制和縮小（）繪制和縮?。?）再現(xiàn)）再現(xiàn)以下是傅里葉變換全息圖的制作流程以下是傅里葉變換全息圖的制作流程物的數(shù)學(xué)函數(shù)物的數(shù)學(xué)函數(shù)抽樣得離散抽樣得離散樣點(diǎn)分布樣點(diǎn)分布離散傅里葉變換離散傅里葉變換離散傅里葉變離散傅里葉變換譜換譜編碼編碼全息透過全息透過率函數(shù)率函數(shù)繪圖繪圖照相縮版照相縮版計(jì)算全息圖計(jì)算全息圖再現(xiàn)再現(xiàn)像像計(jì)算全息的優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算全息的優(yōu)點(diǎn)： 記錄物理上不存在的實(shí)物，只要知道該物體的數(shù)學(xué)表達(dá)式就記錄物理上不存在的實(shí)物，只要知道該物體的數(shù)學(xué)表達(dá)式就可能有計(jì)算全息記錄下這個(gè)物體的光波，并再現(xiàn)該物體的像可能有計(jì)算全息記錄下這個(gè)物體的光波，并再現(xiàn)該物體的像。這種性質(zhì)非常適宜于信息處理中空間濾波的合成，干涉計(jì)。這種性質(zhì)非常適宜于信息處理中空間濾波的合成，干涉計(jì)量中產(chǎn)生特殊的參考波面，三維虛構(gòu)物理的顯示等。量中產(chǎn)生特殊的參考波面，三維虛構(gòu)物理的顯示等。 計(jì)算全息制作過程采用數(shù)字定量計(jì)算，精度高，特別是計(jì)算全息制作過程采用數(shù)字定量計(jì)算，精度高，特別是二元二元全息圖全息圖，透過率函數(shù)，透過率函數(shù)只有二個(gè)取值只有二個(gè)取值，抗干擾能力強(qiáng)，噪聲小，抗干擾能力強(qiáng)，噪聲小，易于復(fù)制。，易于復(fù)制。6-1 計(jì)算全息原理（抽樣定理）計(jì)算全息原理（抽樣定理） 光學(xué)圖象信息往往具有連續(xù)分布的特點(diǎn)，但是在實(shí)現(xiàn)信息光學(xué)圖象信息往往具有連續(xù)分布的特點(diǎn)，但是在實(shí)現(xiàn)信息記錄、存貯、發(fā)送和處理時(shí)，由于物理器件有限的信息容量，記錄、存貯、發(fā)送和處理時(shí)，由于物理器件有限的信息容量，一個(gè)連續(xù)函數(shù)常常用它在一個(gè)一個(gè)連續(xù)函數(shù)常常用它在一個(gè)離散點(diǎn)集上離散點(diǎn)集上的函數(shù)值，即的函數(shù)值，即抽樣值抽樣值來表示。已知一個(gè)函數(shù)為來表示。已知一個(gè)函數(shù)為f (x)，則其抽樣值為，則其抽樣值為)()(0 xntfnf 1, 1 , 0 Nn式中：式中：0t為抽樣起始點(diǎn)，為抽樣起始點(diǎn)，n為抽樣點(diǎn)序號，為抽樣點(diǎn)序號，x 是抽樣間隔是抽樣間隔)(nf是是抽樣值抽樣值或抽樣值序列。直觀上，抽樣間隔越小，則抽樣或抽樣值序列。直觀上，抽樣間隔越小，則抽樣序列越準(zhǔn)確反映原來的連續(xù)函數(shù)。序列越準(zhǔn)確反映原來的連續(xù)函數(shù)。但是抽樣間隔越小，對于信息檢測、傳送、存貯和處理都提但是抽樣間隔越小，對于信息檢測、傳送、存貯和處理都提出了更高的要求。如何選擇一個(gè)合理的抽樣間隔，以便做到出了更高的要求。如何選擇一個(gè)合理的抽樣間隔，以便做到既不既不 丟失信息，又不對檢測、處理等過程提出過分的要求，丟失信息，又不對檢測、處理等過程提出過分的要求，并由這樣的值恢復(fù)一個(gè)連續(xù)函數(shù)呢？這些正是抽樣定理所要并由這樣的值恢復(fù)一個(gè)連續(xù)函數(shù)呢？這些正是抽樣定理所要回答的問題?；卮鸬膯栴}。6-1 計(jì)算全息原理計(jì)算全息原理6-1 計(jì)算全息原理計(jì)算全息原理 但是抽樣間隔越小，對于信息檢測、傳送、存貯和處理都提但是抽樣間隔越小，對于信息檢測、傳送、存貯和處理都提出了更高的要求。出了更高的要求。 如何選擇一個(gè)合理的抽樣間隔，以便做到既不丟失信息，又如何選擇一個(gè)合理的抽樣間隔，以便做到既不丟失信息，又不對檢測、處理等過程提出過分的要求，并由這樣的值恢復(fù)不對檢測、處理等過程提出過分的要求，并由這樣的值恢復(fù)一個(gè)連續(xù)函數(shù)？這些正是抽樣定理所要回答的問題。一個(gè)連續(xù)函數(shù)？這些正是抽樣定理所要回答的問題。 抽樣是制作計(jì)算全息圖的一個(gè)重要的不可少的步驟，而抽抽樣是制作計(jì)算全息圖的一個(gè)重要的不可少的步驟，而抽樣定理是計(jì)算全息技術(shù)中的重要理論基礎(chǔ)之一。樣定理是計(jì)算全息技術(shù)中的重要理論基礎(chǔ)之一。1 1、函數(shù)的抽樣、函數(shù)的抽樣先看函數(shù)的抽樣和復(fù)原的圖解分析過程先看函數(shù)的抽樣和復(fù)原的圖解分析過程x)(xf函數(shù)頻譜_)(F )(xxcomb xx x 2x x 2xx 1x 2x 1x 2 x)2(sin2xBcBxx)2/(xBrect x抽樣函數(shù)_)(xfsx x 2x x 2抽樣函數(shù)的頻譜_)(sF xBxB x)(xxcomb x)(xfsx x 2x x 2xx 1x 21x 1x 21)( sF x)2(sin2xBcBxx)2/(xBrect )( F x)(xf )()(mxxcomb 梳狀函數(shù)的一些性質(zhì)梳狀函數(shù)的一些性質(zhì) )()(xmxxxxcomb )()( combxcomb)()( xxcombxxcomb 利用梳狀函數(shù)對連續(xù)函數(shù)利用梳狀函數(shù)對連續(xù)函數(shù) f (x, y)抽樣，得抽樣函數(shù)抽樣，得抽樣函數(shù))(xfs它是由它是由 函數(shù)的陣列構(gòu)成函數(shù)的陣列構(gòu)成),()()(),(yxfyycombxxcombyxfs nmymyxnxymxnfyx),(),( 利用卷積定理得抽樣函數(shù)的頻譜利用卷積定理得抽樣函數(shù)的頻譜),()()( Fycombxycombx ),(),( Fymxnnm nmymxnF),( 結(jié)論：函數(shù)在空間域被抽樣，導(dǎo)致函數(shù)頻譜結(jié)論：函數(shù)在空間域被抽樣，導(dǎo)致函數(shù)頻譜),( F的周期性重復(fù)。的周期性重復(fù)。在頻域在頻域),()()(),( FyycombxxcombFs 6-1計(jì)算全息原理計(jì)算全息原理 nmSymxnFF),(),(結(jié)論：函數(shù)在空間域被抽樣，導(dǎo)致函數(shù)頻譜結(jié)論：函數(shù)在空間域被抽樣，導(dǎo)致函數(shù)頻譜),( F的周期性重復(fù)。的周期性重復(fù)。在頻域在頻域空間域空間域 的抽樣間隔是的抽樣間隔是x 和和y , ,空間頻譜被重復(fù)的頻譜中空間頻譜被重復(fù)的頻譜中心間距為心間距為x 1y 1和和x)(xfs)( sF x 1x 21x x 26-1 計(jì)算全息原理計(jì)算全息原理設(shè)設(shè)f (x, y)是有限帶寬函數(shù)，其頻譜在空間頻域的一個(gè)有限區(qū)域是有限帶寬函數(shù)，其頻譜在空間頻域的一個(gè)有限區(qū)域上不為零。上不為零。 ,方向上的譜的寬度分別為方向上的譜的寬度分別為xB2yB2由抽樣過程示意圖可知當(dāng)由抽樣過程示意圖可知當(dāng)xBx21 yBy21 xBx21 yBy21 ),( sF中的各個(gè)頻譜就不會出現(xiàn)中的各個(gè)頻譜就不會出現(xiàn)混疊混疊現(xiàn)象，這樣就有可能用現(xiàn)象，這樣就有可能用濾波的方法從濾波的方法從),( sF中分離出原函數(shù)的頻譜中分離出原函數(shù)的頻譜),( F再由再由),( F恢復(fù)原函數(shù)?；謴?fù)原函數(shù)。xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB 6-1 計(jì)算全息原理計(jì)算全息原理因而能由抽樣值還原原函數(shù)的條件是因而能由抽樣值還原原函數(shù)的條件是（1 1）),(yxf是限帶函數(shù)是限帶函數(shù)（2 2）在在 x 方向和方向和 y 方向抽樣點(diǎn)最大允許方向抽樣點(diǎn)最大允許 間隔為間隔為yB21xB21xx 1x 2x 1x 2)( sF xBxB yB21xB21和和稱為稱為奈魁斯特間隔奈魁斯特間隔。 抽樣定理的另一種表達(dá)為：抽樣定理的另一種表達(dá)為：一個(gè)有限帶寬的函數(shù)，它沒有頻率在一個(gè)有限帶寬的函數(shù)，它沒有頻率在xB2yB2以上的頻譜分量，則該函數(shù)可以由一系列間隔小于以上的頻譜分量，則該函數(shù)可以由一系列間隔小于yB21xB21和和的抽樣值的抽樣值唯一唯一地確定。地確定。2、函數(shù)的還原、函數(shù)的還原將抽樣函數(shù)作為輸入，加到一個(gè)低通濾波器上，只要抽樣函數(shù)將抽樣函數(shù)作為輸入，加到一個(gè)低通濾波器上，只要抽樣函數(shù) 的頻譜不產(chǎn)生混疊，總可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波函數(shù)，使的頻譜不產(chǎn)生混疊，總可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波函數(shù)，使),( sF中，中，n=0, m=0的項(xiàng)無畸變地通過，而濾去其它各項(xiàng)，這時(shí)濾波的項(xiàng)無畸變地通過，而濾去其它各項(xiàng)，這時(shí)濾波器的輸出就是復(fù)原的原函數(shù)，這一過程可由下面框圖示意器的輸出就是復(fù)原的原函數(shù)，這一過程可由下面框圖示意。),(yxf),( F ),(yxfs)()(yycombxxcomb 低通濾波器低通濾波器),(yxh),( H),(),(),(yxhyxfyxfs ),( sF),(),( sFF ),( H若選矩形函數(shù)為濾波函數(shù)若選矩形函數(shù)為濾波函數(shù))2()2(),(yxBrectBrectH 則則),(),( sFF )2()2(yxBrectBrect 這一頻域的濾波過程，可以等效于空域中的卷積運(yùn)算這一頻域的濾波過程，可以等效于空域中的卷積運(yùn)算),(),(),(yxhyxfyxfs ),(),(),(ymyxnxymxnfyxyxfs ),(yxh )2()2(yxBrectBrect )2(sin)2(sin4yBcxBcBByxyx ),(),(),(yxhyxfyxfs nyxmyxymyBcxnxBcymxnfyxBB)(2sin)(2sin),(4惠特克惠特克香農(nóng)（香農(nóng)（Whittaker-Shannon)抽樣定理抽樣定理xBx21 取取yBy21 ),(yxf nyyxxyxmBmyBcBnxBcBmBnf)2(2sin)2(2sin)2,2(它表明了只要抽樣間隔滿足它表明了只要抽樣間隔滿足xBx21 yBy21 則在每一個(gè)抽樣點(diǎn)上放置一個(gè)以則在每一個(gè)抽樣點(diǎn)上放置一個(gè)以抽樣值為權(quán)重的抽樣值為權(quán)重的sinc函數(shù)函數(shù) 為內(nèi)插函數(shù)，由這些加權(quán)的為內(nèi)插函數(shù)，由這些加權(quán)的sinc函數(shù)的線性組合可復(fù)原原函數(shù)的線性組合可復(fù)原原函數(shù)。函數(shù)。由以上討論可知，由抽樣函數(shù)還原原函數(shù)有兩條途徑由以上討論可知，由抽樣函數(shù)還原原函數(shù)有兩條途徑（1 1）頻域?yàn)V波）頻域?yàn)V波（2 2）空域插值）空域插值嚴(yán)格說來，頻帶有限的函數(shù)在物理上并不存在，一個(gè)有限嚴(yán)格說來，頻帶有限的函數(shù)在物理上并不存在，一個(gè)有限寬度的函數(shù)，其頻譜范圍總是擴(kuò)展到無窮。但表征大多數(shù)寬度的函數(shù)，其頻譜范圍總是擴(kuò)展到無窮。但表征大多數(shù)物理物理量量的函數(shù)，其頻譜在頻率高到一定程度時(shí)總是大大減的函數(shù)，其頻譜在頻率高到一定程度時(shí)總是大大減小，以致于略去高頻分量所引入的誤差是可以允許的。實(shí)小，以致于略去高頻分量所引入的誤差是可以允許的。實(shí)際上，信號的檢測、傳遞過程采用的儀器都是際上，信號的檢測、傳遞過程采用的儀器都是有限通頻帶有限通頻帶寬寬的。所以很多物理量函數(shù)都可視為有限帶寬函數(shù)，從而的。所以很多物理量函數(shù)都可視為有限帶寬函數(shù)，從而可用離散的抽樣序列代替。可用離散的抽樣序列代替。上述抽樣定理的過程可以用下面的光學(xué)過程來說明上述抽樣定理的過程可以用下面的光學(xué)過程來說明xy如圖，物函數(shù)如圖，物函數(shù) f (x, y)是透明片是透明片T字的透過率函數(shù)，在傅里葉變字的透過率函數(shù)，在傅里葉變換平面上換平面上T字的譜是一組衍射斑點(diǎn)。對于字的譜是一組衍射斑點(diǎn)。對于f (x, y)抽樣，相當(dāng)于在抽樣，相當(dāng)于在T字處加一個(gè)光柵，光柵間距應(yīng)滿足抽樣定理。這時(shí)在譜面上字處加一個(gè)光柵，光柵間距應(yīng)滿足抽樣定理。這時(shí)在譜面上出現(xiàn)許多組的衍射斑點(diǎn)。如果在譜面上加一個(gè)單縫，只允許中出現(xiàn)許多組的衍射斑點(diǎn)。如果在譜面上加一個(gè)單縫，只允許中間一組通過，則像面上的間一組通過，則像面上的T字沒柵格，與原物相同。字沒柵格，與原物相同?？臻g濾波之網(wǎng)絡(luò)水演示?？臻g濾波之網(wǎng)絡(luò)水演示。6-2 計(jì)算全息的離散傅里葉變換計(jì)算全息的離散傅里葉變換一般計(jì)算全息的制作過程分為五步一般計(jì)算全息的制作過程分為五步（1）抽樣（）抽樣（2）計(jì)算（）計(jì)算（3）編碼（）編碼（4）繪制和縮小（）繪制和縮?。?）再現(xiàn)）再現(xiàn)以下是傅里葉變換全息圖的制作流程以下是傅里葉變換全息圖的制作流程物的數(shù)學(xué)函數(shù)物的數(shù)學(xué)函數(shù)抽樣得離散抽樣得離散樣點(diǎn)分布樣點(diǎn)分布離散傅里葉變換離散傅里葉變換離散傅里葉變離散傅里葉變換譜換譜編碼編碼全息透過全息透過率函數(shù)率函數(shù)繪圖繪圖照相縮版照相縮版計(jì)算全息圖計(jì)算全息圖再現(xiàn)再現(xiàn)像像 在這種全息圖中，被記錄的復(fù)數(shù)波面是物波函數(shù)在這種全息圖中，被記錄的復(fù)數(shù)波面是物波函數(shù)的傅里葉變換。由于這種全息圖再現(xiàn)的是物波函數(shù)的的傅里葉變換。由于這種全息圖再現(xiàn)的是物波函數(shù)的傅里葉譜，所以要得到物波函數(shù)本身，必須通過變換傅里葉譜，所以要得到物波函數(shù)本身，必須通過變換透鏡再進(jìn)行一次逆變換，這與光學(xué)傅里葉變換全息圖透鏡再進(jìn)行一次逆變換，這與光學(xué)傅里葉變換全息圖的基本原理是一致的。的基本原理是一致的。 對復(fù)數(shù)波面進(jìn)行編碼可以采用上節(jié)介紹的兩種方對復(fù)數(shù)波面進(jìn)行編碼可以采用上節(jié)介紹的兩種方法。一種是迂回相位編碼方法，直接對抽樣點(diǎn)上復(fù)數(shù)法。一種是迂回相位編碼方法，直接對抽樣點(diǎn)上復(fù)數(shù)波面的振幅和相位進(jìn)行編碼。另一種是修正離軸參考波面的振幅和相位進(jìn)行編碼。另一種是修正離軸參考光編碼方法，將全息函數(shù)造成實(shí)的非負(fù)函數(shù)。從而只光編碼方法，將全息函數(shù)造成實(shí)的非負(fù)函數(shù)。從而只對振幅進(jìn)行編碼。對振幅進(jìn)行編碼。一、抽樣點(diǎn)數(shù)與空間帶寬積一、抽樣點(diǎn)數(shù)與空間帶寬積設(shè)平面物體的大小為設(shè)平面物體的大小為yx 在在x, y方向方向的抽樣間距為的抽樣間距為xy根據(jù)抽樣定理根據(jù)抽樣定理 1x 1y取等號，有取等號，有 1x 1yyx 一個(gè)抽樣單元一個(gè)抽樣單元制作一個(gè)全息圖所需的抽樣點(diǎn)數(shù)為制作一個(gè)全息圖所需的抽樣點(diǎn)數(shù)為 yxyyxxSWyxByBx 4 dddxdy稱為空間帶寬積稱為空間帶寬積它是物體所具有的它是物體所具有的信息量信息量的量度，利用它可以方便地確定的量度，利用它可以方便地確定制作計(jì)算全息圖時(shí)所需要的抽樣點(diǎn)的總數(shù)。如圖像的尺寸制作計(jì)算全息圖時(shí)所需要的抽樣點(diǎn)的總數(shù)。如圖像的尺寸是是40mm 40mm，最高空間頻率，最高空間頻率mmBmmByx/10,/10 圖像的空間帶寬積圖像的空間帶寬積yxBByxSW 4 2800101040404 對這樣的圖像制作全息圖時(shí)，其抽樣點(diǎn)數(shù)是對這樣的圖像制作全息圖時(shí)，其抽樣點(diǎn)數(shù)是2800下面以傅里葉變換全息圖為例加以討論下面以傅里葉變換全息圖為例加以討論設(shè)平面物體的大小為設(shè)平面物體的大小為yx ，在在x, y方向的抽樣間距為方向的抽樣間距為x y 抽樣單元分別為抽樣單元分別為 j 個(gè)和個(gè)和 k 個(gè)。個(gè)。 這樣離散的物光波函數(shù)可以寫成這樣離散的物光波函數(shù)可以寫成),(ykxjffjk kj,為單元的序數(shù)為單元的序數(shù))(xj)( yk01231 2 3 1231 2 3 )x( j)y(k01031 2 3 1231 2 3 取取 1 x 1 y xxxJ yyyK yxSWJK 在確定了抽樣數(shù)和抽樣間距以后，需要將在確定了抽樣數(shù)和抽樣間距以后，需要將),(F 計(jì)算出來。為此，我們要將連續(xù)傅里葉變換，變成離散的傅里葉計(jì)算出來。為此，我們要將連續(xù)傅里葉變換，變成離散的傅里葉變換。變換。 dxdyyxjyxfF)(2exp),(),( )(xf jxxx)Bjx(Bcsin)Bj(f222在一維的情況下在一維的情況下 jjxcjf sin)(空域插值空域插值代入上式得代入上式得 dxxjxfF)2exp)()( 12 j dxxjxfF)2exp)()( dxxjjxcjfFj )2exp()(sin)()( 利用利用 )(1)(sincrectccxc 和平移不變定理和平移不變定理dxxjjxc )2exp()(sin )2exp()(1 jjrectdxxjjxc )2exp()(sin 代入上式代入上式 )(F )2exp()()(1 jjrectjfj12 j )(F )2exp()()(1 jjrectjfj)2exp()(1122 jjjfJJj22 在譜平面上的抽樣情況與物面上類似，其抽樣間隔可分別取為在譜平面上的抽樣情況與物面上類似，其抽樣間隔可分別取為x 1 y 1 )(m )(n 01231 2 3 1231 2 3 對于一個(gè)抽樣點(diǎn)來說對于一個(gè)抽樣點(diǎn)來說 m )( F )( mF)xm(F )2exp()(1122 xjmjjfJJj)2exp()(1122JjmjjfJJj )yn,xm(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122對于二維情況對于二維情況 有有 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(1122122不考慮前面的常系數(shù)，則不考慮前面的常系數(shù)，則 )n,m(F KknJjmjkjfJJjKKk 2exp),(122122這就是離散傅里葉變換。每作一次變換涉及到大量計(jì)算。這就是離散傅里葉變換。每作一次變換涉及到大量計(jì)算。 1965年庫列年庫列圖基圖基(Cooley-Tukey)提出矩陣分解提出矩陣分解 的新算的新算法，也就是法，也就是快速傅里葉快速傅里葉(FFT)變換算法變換算法，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，才使二維圖形的離散傅里葉變換在實(shí)際上成為可能，快速，才使二維圖形的離散傅里葉變換在實(shí)際上成為可能，快速傅里葉變換算法的程序可以各種語言版本中找到，使用時(shí)直傅里葉變換算法的程序可以各種語言版本中找到，使用時(shí)直接調(diào)用相應(yīng)的庫函數(shù)就可以了。接調(diào)用相應(yīng)的庫函數(shù)就可以了。)n,m(F通常是復(fù)數(shù)，可以記為通常是復(fù)數(shù)，可以記為)n,m(jI)n,m(R)n,m(F )n,m(jexp)n,m(A)n,m(F )n,m(I)n,m(R)n,m(A22 )n,m(R)n,m(Iarctg)n,m( ( (請用請用MATLABMATLAB編寫二維編寫二維FFTFFT） “編碼編碼”在通信中與指把輸入信息變換為信道上傳送的信在通信中與指把輸入信息變換為信道上傳送的信號的過程。在計(jì)算全息中輸入信息是待記錄的光波的復(fù)振幅，號的過程。在計(jì)算全息中輸入信息是待記錄的光波的復(fù)振幅，而中間的傳遞介質(zhì)是全息圖，而中間的傳遞介質(zhì)是全息圖，其信息特征是全息圖上的透過率其信息特征是全息圖上的透過率的變化的變化，因此將二維光場復(fù)振幅分布變換為全息圖的二維透過，因此將二維光場復(fù)振幅分布變換為全息圖的二維透過率函數(shù)分布的過程，稱為率函數(shù)分布的過程，稱為計(jì)算全息的編碼計(jì)算全息的編碼。 由于成圖設(shè)備的輸出大多只能是實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此編碼由于成圖設(shè)備的輸出大多只能是實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此編碼問題歸結(jié)為將問題歸結(jié)為將二維離散二維離散復(fù)值函數(shù)變換為二維復(fù)值函數(shù)變換為二維離散實(shí)值函數(shù)離散實(shí)值函數(shù)問問題。而且這種轉(zhuǎn)換能夠在再現(xiàn)階段完成其逆轉(zhuǎn)換，從二維離題。而且這種轉(zhuǎn)換能夠在再現(xiàn)階段完成其逆轉(zhuǎn)換，從二維離散實(shí)值函數(shù)恢復(fù)二維復(fù)值函數(shù)。散實(shí)值函數(shù)恢復(fù)二維復(fù)值函數(shù)。 將復(fù)值函數(shù)變換為實(shí)值非負(fù)函數(shù)的編碼方法可以歸納為兩大類將復(fù)值函數(shù)變換為實(shí)值非負(fù)函數(shù)的編碼方法可以歸納為兩大類 第第一種方法是把一個(gè)復(fù)值函數(shù)表示為兩個(gè)實(shí)值非負(fù)函數(shù)一種方法是把一個(gè)復(fù)值函數(shù)表示為兩個(gè)實(shí)值非負(fù)函數(shù)，例，例如用如用振幅振幅和和相位相位兩個(gè)實(shí)參數(shù)表示一個(gè)復(fù)數(shù)，分別對振幅和相位進(jìn)兩個(gè)實(shí)參數(shù)表示一個(gè)復(fù)數(shù)，分別對振幅和相位進(jìn)行編碼。行編碼。 第二種方法是第二種方法是仿照光學(xué)全息仿照光學(xué)全息的辦法，如引入離軸參考光，通的辦法，如引入離軸參考光，通過和物光波的干涉產(chǎn)生干涉條紋的強(qiáng)度分布，成為實(shí)值非負(fù)函數(shù)過和物光波的干涉產(chǎn)生干涉條紋的強(qiáng)度分布，成為實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，可以直接用實(shí)參數(shù)來表示。，因此每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，可以直接用實(shí)參數(shù)來表示。1、迂回相位編碼方法、迂回相位編碼方法（1）羅曼型）羅曼型 對光波的振幅進(jìn)行編碼比較容易，它可以通過控制全對光波的振幅進(jìn)行編碼比較容易，它可以通過控制全息圖上抽樣單元的透過率或開孔面積來實(shí)現(xiàn)。對于光波息圖上抽樣單元的透過率或開孔面積來實(shí)現(xiàn)。對于光波的相位編碼則比較困難，雖然原則上可以使光波通過一的相位編碼則比較困難，雖然原則上可以使光波通過一個(gè)具有二維分布的個(gè)具有二維分布的相位板相位板，但這在技術(shù)上十分困難。羅，但這在技術(shù)上十分困難。羅曼根據(jù)不規(guī)則光柵的衍射效應(yīng)，成功地提出了迂回相位曼根據(jù)不規(guī)則光柵的衍射效應(yīng)，成功地提出了迂回相位編碼的方法。編碼的方法。ddk k 方向上相鄰光線的光程差為方向上相鄰光線的光程差為 ksindk 相位差為相位差為 k2k級衍射波級衍射波這時(shí)在這時(shí)在k 方向上方向上觀察光柵的衍射光波，是一個(gè)平面波，觀察光柵的衍射光波，是一個(gè)平面波，可以認(rèn)為波面上各點(diǎn)光波振動的相位相可以認(rèn)為波面上各點(diǎn)光波振動的相位相同，設(shè)為同，設(shè)為0 問題：如果光柵的柵距有誤差，如問題：如果光柵的柵距有誤差，如在某一位置處柵距增大了在某一位置處柵距增大了 這時(shí)在這時(shí)在k 方向觀察的衍射波是否方向觀察的衍射波是否還是平面波？還是平面波？相鄰光線的光程差為相鄰光線的光程差為kd sin)( k 方向的衍射光波在該方向的衍射光波在該位置處引入的相應(yīng)相位延遲位置處引入的相應(yīng)相位延遲kkksindsin)d( 22 ksin 2 ddk k級衍射波級衍射波d d ksindk dk2 迂回相位迂回相位迂回相位的值與柵距的偏移量和衍射級次迂回相位的值與柵距的偏移量和衍射級次成正比，而與入射光波的波長無關(guān)。成正比，而與入射光波的波長無關(guān)。設(shè)光柵透光位置用標(biāo)號設(shè)光柵透光位置用標(biāo)號 i 標(biāo)示，則標(biāo)示，則iidk 20 ddk k級衍射波級衍射波d d迂回相位效應(yīng)給予我們的提示：迂回相位效應(yīng)給予我們的提示：通過通過局部改變光柵柵距局部改變光柵柵距的的辦法，可以在某個(gè)衍射方辦法，可以在某個(gè)衍射方向得到我們所需用要的相向得到我們所需用要的相位調(diào)制。位調(diào)制。不考慮均勻相位延遲不考慮均勻相位延遲0 iidk 2 下面對一復(fù)值函數(shù)進(jìn)行振幅和相下面對一復(fù)值函數(shù)進(jìn)行振幅和相位編碼位編碼假定全息圖共假定全息圖共m n個(gè)抽樣單元，待記錄的復(fù)振幅的樣點(diǎn)值為個(gè)抽樣單元，待記錄的復(fù)振幅的樣點(diǎn)值為)exp(mnmnmnjAf 式中式中10 mnA是歸一化振幅是歸一化振幅)( xm)( yn01031 2 3 1231 2 3 ),(nm第第單元單元y x xW yLmn 如圖，首先在全息圖每個(gè)抽樣單元內(nèi)放置一個(gè)如圖，首先在全息圖每個(gè)抽樣單元內(nèi)放置一個(gè)矩形矩形通光孔，通通光孔，通過改變光孔徑的面積來編碼復(fù)數(shù)波面的過改變光孔徑的面積來編碼復(fù)數(shù)波面的振幅振幅，其次改變通光孔，其次改變通光孔徑徑中心中心與抽樣與抽樣單元中心單元中心的位置來編碼相位。設(shè)矩形的寬度的位置來編碼相位。設(shè)矩形的寬度xW 不變，矩形孔徑的高度是不變，矩形孔徑的高度是yLmn xPmn 與歸一化振幅成正比。與歸一化振幅成正比。xPmn 是孔徑中心與抽樣單元中心的距離，與抽樣點(diǎn)的相位成正比是孔徑中心與抽樣單元中心的距離，與抽樣點(diǎn)的相位成正比因此，孔徑參數(shù)與復(fù)值函數(shù)的關(guān)系如下因此，孔徑參數(shù)與復(fù)值函數(shù)的關(guān)系如下mnmnAL mnmndk 2xPxkmnmn 2 kPmnmn 2 根據(jù)上面方法確定了每個(gè)單元開孔尺寸和位置后，就可根據(jù)上面方法確定了每個(gè)單元開孔尺寸和位置后，就可以用計(jì)算機(jī)控制以用計(jì)算機(jī)控制繪圖儀繪圖儀產(chǎn)生產(chǎn)生原圖原圖，再經(jīng)過，再經(jīng)過縮版縮版得得到計(jì)算全息到計(jì)算全息圖圖。由于在迂回相位編碼方法中，全息圖的透過率只有。由于在迂回相位編碼方法中，全息圖的透過率只有0和和1兩個(gè)值，故制作簡單，噪聲低，抗干擾能力強(qiáng)，并可多次復(fù)兩個(gè)值，故制作簡單，噪聲低，抗干擾能力強(qiáng)，并可多次復(fù)制而不失真，因而應(yīng)用較為廣泛。制而不失真，因而應(yīng)用較為廣泛。繪制全息圖繪制全息圖 計(jì)算全息圖的再現(xiàn)方法計(jì)算全息圖的再現(xiàn)方法與光學(xué)全息相似，僅在某個(gè)特定的與光學(xué)全息相似，僅在某個(gè)特定的衍射級次上才能再現(xiàn)我們所期望的波前。下圖是計(jì)算傅里葉變衍射級次上才能再現(xiàn)我們所期望的波前。下圖是計(jì)算傅里葉變換全息圖的再現(xiàn)光路，當(dāng)用平行光垂直照明全息圖時(shí)，在透射換全息圖的再現(xiàn)光路，當(dāng)用平行光垂直照明全息圖時(shí)，在透射光場中沿某一特定衍射方向的分量波將再現(xiàn)物光波的光場中沿某一特定衍射方向的分量波將再現(xiàn)物光波的傅里葉變傅里葉變換換，而直接透過分量具有平面波前，并且在另一側(cè)的衍射分量，而直接透過分量具有平面波前，并且在另一側(cè)的衍射分量將再現(xiàn)物譜的共軛光波。于是經(jīng)過透鏡將再現(xiàn)物譜的共軛光波。于是經(jīng)過透鏡L進(jìn)行逆傅里葉變換后進(jìn)行逆傅里葉變換后，輸出平面中心是一個(gè)亮點(diǎn)，兩邊是正、負(fù)一級像和，輸出平面中心是一個(gè)亮點(diǎn)，兩邊是正、負(fù)一級像和高級次的高級次的像像。 xy 書上書上P175P175給出了迂回相位編碼的計(jì)算傅里葉變換全息圖。給出了迂回相位編碼的計(jì)算傅里葉變換全息圖。clc;clearA=zeros(128);A(45:50,50:70)=1;A(45:80,50:55)=1;A(75:80,50:70)=1;A(60:65,50:65)=1;b=A;imshow(b,notruesize)%0 1間的隨機(jī)化矩陣間的隨機(jī)化矩陣 a = rand (128, 128) ;aa = exp( i*2*pi*a) ;AA = double (b).*aa;Afft2 = fftshift(fft2(AA) ;% 將變換后的高頻移至中心將變換后的高頻移至中心A1 = abs(Afft2); %物函數(shù)圖的傅立葉變換后的頻譜的幅值物函數(shù)圖的傅立葉變換后的頻譜的幅值B2= angle (Afft2) / (2*pi) ;% 得到歸一化的頻譜的相位得到歸一化的頻譜的相位A1max =max(A1(:) ; %得到了歸一化的頻譜幅值得到了歸一化的頻譜幅值A(chǔ)1 =A1 /A1max;%s=128;N=128; % 繪圖尺寸設(shè)置繪圖尺寸設(shè)置swidth=s/N;sheight=swidth; %設(shè)置抽樣單元的寬度與高度設(shè)置抽樣單元的寬度與高度rwidth=swidth/2; %對每一個(gè)抽樣單元編碼，設(shè)置抽樣單元內(nèi)放置的矩形孔徑的尺寸對每一個(gè)抽樣單元編碼，設(shè)置抽樣單元內(nèi)放置的矩形孔徑的尺寸,rwidth=w*swidth,rheight=A1*sheight, 孔徑中心與單元中心距離為孔徑中心與單元中心距離為dextra=B2*swidth/k,k為衍射級數(shù)，為衍射級數(shù)，取為取為1 %從左上角建立坐標(biāo)系，設(shè)置抽樣單元起始縱橫坐標(biāo)從左上角建立坐標(biāo)系，設(shè)置抽樣單元起始縱橫坐標(biāo)swidth/2;sheight/2;figure;set(gcf,color,w)axis(0 N 0 N);hold on;for j=1:N sy0=sheight/2+(j-1)*sheight;% 抽樣單元縱坐標(biāo)抽樣單元縱坐標(biāo) for i=1:N sx0=swidth/2+(i-1)*swidth;% 抽樣單元橫坐標(biāo)抽樣單元橫坐標(biāo),是以抽樣單元中心為該單是以抽樣單元中心為該單 rheight=A1(j,i)*sheight; dextra=B2(j,i)*swidth; if abs(dextra)1/4*swidth rx0=sx0+dextra-rwidth/2;rx1=sx0+swidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0-swidth/2;rx11=sx0+dextra+rwidth/2-swidth; fill(rx00 rx00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); else rx0=sx0-swidth/2;rx1=sx0+dextra+rwidth/2;ry0=sy0-rheight;ry1=sy0+rheight/2; fill(rx0 rx0 rx1 rx1,ry0 ry1 ry1 ry0,k); rx00=sx0+dextra-rwidth/2+swidth;rx11=sx0+swidth/2; fill(rx00 rx00 rx11 rx11,ry0 ry1 ry1 ry0,k); end end end end axis equal axis off 請畫出三種情況的開孔的位置請畫出三種情況的開孔的位置? 再現(xiàn)的程序再現(xiàn)的程序?%saveas(gcf,e.bmp);x=imread(e.bmp);figure,imshow(log(abs(fftshift(fft2(x),)作業(yè)作業(yè)6-16-1，6-36-3，6-4 6-4 查文獻(xiàn)，編寫有關(guān)程序查文獻(xiàn)，編寫有關(guān)程序（2 2）四階）四階迂回相位編碼方法迂回相位編碼方法 01jeF22 jeF jeF3234 jeF),(nm第第單元單元)exp(mnmnmnjAf 23432201 jjjjeFeFeFeF 如圖將一個(gè)全息圖的單元沿如圖將一個(gè)全息圖的單元沿x x方向分為四等分，各部分的相位方向分為四等分，各部分的相位分別是分別是0， ， ，2 23 這樣，一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅用四個(gè)子樣點(diǎn)發(fā)出這樣，一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅用四個(gè)子樣點(diǎn)發(fā)出的分量波合成來表示。的分量波合成來表示。)exp(mnmnmnjAf 23432201 jjjjeFeFeFeF 對于一個(gè)樣點(diǎn)，對于一個(gè)樣點(diǎn)，4321FFFF四個(gè)分量中只有兩個(gè)分量為非零值四個(gè)分量中只有兩個(gè)分量為非零值因此，要描述一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅，只需要在兩個(gè)子單元中用開孔因此，要描述一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)振幅，只需要在兩個(gè)子單元中用開孔大小或灰度等級來表示就行了。大小或灰度等級來表示就行了。0je2 je je23 je1F2F修正離軸參考光的編碼方法修正離軸參考光的編碼方法 迂回相位編碼方法是用抽樣單元矩形孔的兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，分迂回相位編碼方法是用抽樣單元矩形孔的兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別編碼樣點(diǎn)處的振幅和相位。如果別編碼樣點(diǎn)處的振幅和相位。如果模擬光學(xué)離軸全息模擬光學(xué)離軸全息的方法，的方法，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)光波復(fù)振幅分布與一虛擬的離軸參考光疊加，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)光波復(fù)振幅分布與一虛擬的離軸參考光疊加，使全息圖平面上待記錄的復(fù)振幅分布轉(zhuǎn)換成強(qiáng)度分布，就避免使全息圖平面上待記錄的復(fù)振幅分布轉(zhuǎn)換成強(qiáng)度分布，就避免了相位編碼問題。這時(shí)只要在全息圖單元上用了相位編碼問題。這時(shí)只要在全息圖單元上用開孔面積開孔面積或或灰度灰度變化來編碼這個(gè)實(shí)的非負(fù)函數(shù)，即可完成編碼。變化來編碼這個(gè)實(shí)的非負(fù)函數(shù)，即可完成編碼。 設(shè)待記錄的物光波復(fù)振幅為設(shè)待記錄的物光波復(fù)振幅為 f (x, y)，離軸的平面參考光波為，離軸的平面參考光波為R(x, y)，即，即),(exp),(),(yxjyxAyxf 2exp),(0 xjRyxR 修正離軸參考光的編碼方法修正離軸參考光的編碼方法 在線性記錄條件下，并忽略一些不重要的常數(shù)因子，光學(xué)離在線性記錄條件下，并忽略一些不重要的常數(shù)因子，光學(xué)離 軸全息的透過率函數(shù)為軸全息的透過率函數(shù)為2),(),(),(yxRyxfyxh ),(cos),(),(yxxyxARyxAR 220220 在透過率函數(shù)在透過率函數(shù) 所包含的三項(xiàng)中，第三項(xiàng)通過對余弦型條所包含的三項(xiàng)中，第三項(xiàng)通過對余弦型條紋的紋的振幅和相位振幅和相位調(diào)制，記錄了物光波的全部信息。第一、調(diào)制，記錄了物光波的全部信息。第一、二項(xiàng)是這種光學(xué)全息方法不可避免地伴生的，除了其中均二項(xiàng)是這種光學(xué)全息方法不可避免地伴生的，除了其中均勻偏置分量使勻偏置分量使h(x, y)為實(shí)的非負(fù)函數(shù)的目的外，它們只是為實(shí)的非負(fù)函數(shù)的目的外，它們只是占用信息通道，占用信息通道，從物波信息傳遞的從物波信息傳遞的角度來說，角度來說，完全是多余完全是多余的。的。 從光學(xué)全息形成的過程來看從光學(xué)全息形成的過程來看, ,第一、二項(xiàng)是不可避免地伴第一、二項(xiàng)是不可避免地伴生的，但是計(jì)算機(jī)制作全息圖的靈活性，使得在做計(jì)算全息生的，但是計(jì)算機(jī)制作全息圖的靈活性，使得在做計(jì)算全息時(shí)，可以人為地將它們?nèi)サ舳匦聵?gòu)造全息函數(shù)，即所謂的時(shí)，可以人為地將它們?nèi)サ舳匦聵?gòu)造全息函數(shù)，即所謂的修正型離軸全息函數(shù)。修正型離軸全息函數(shù)。 ),(cos),(.),(yxxyxAyxh 2150式中式中A(x, y)是歸一化振幅。是歸一化振幅。下面從頻域來理解下面從頻域來理解光學(xué)離軸全息光學(xué)離軸全息函數(shù)和修正型離軸全息函數(shù)的函數(shù)和修正型離軸全息函數(shù)的差別。差別。 yB2xB2xB4 yB4 xB3 a、物波的空間頻譜、物波的空間頻譜b、光學(xué)全息圖的空間頻譜、光學(xué)全息圖的空間頻譜 xB8 c、光學(xué)全息圖抽樣后的頻譜、光學(xué)全息圖抽樣后的頻譜yB4 圖圖b是光學(xué)離軸全息圖的空間頻譜，中間的大矩形是是光學(xué)離軸全息圖的空間頻譜，中間的大矩形是),(2yxA的自相關(guān)頻率成分。為了避免這些分量在頻率域中的重疊，要求的自相關(guān)頻率成分。為了避免這些分量在頻率域中的重疊，要求載頻載頻xB3 如果直接對光學(xué)全息圖函數(shù)進(jìn)行抽樣制作計(jì)算全息圖，則根據(jù)如果直接對光學(xué)全息圖函數(shù)進(jìn)行抽樣制作計(jì)算全息圖，則根據(jù)抽樣定理，其抽樣間隔必須為抽樣定理，其抽樣間隔必須為xxB81 yyB41 其計(jì)算全息圖的空間頻譜如圖其計(jì)算全息圖的空間頻譜如圖c，它是，它是 光學(xué)離軸全息圖光學(xué)離軸全息圖 頻譜的頻譜的 周期性重復(fù)。周期性重復(fù)。由于修正后的全息函數(shù)已經(jīng)去掉了由于修正后的全息函數(shù)已經(jīng)去掉了),(2yxA項(xiàng)，所以在頻率項(xiàng)，所以在頻率域中自相關(guān)項(xiàng)的頻率成分已不存在，域中自相關(guān)項(xiàng)的頻率成分已不存在， 只有代表物波頻率成分的只有代表物波頻率成分的兩個(gè)矩形和直流項(xiàng)的頻率成分兩個(gè)矩形和直流項(xiàng)的頻率成分 函數(shù)。如圖函數(shù)。如圖d d所示。所示。 xB d、修正型離軸全息函數(shù)空間頻譜、修正型離軸全息函數(shù)空間頻譜 xB xB yB2 xB4 e、修正型離軸全息函數(shù)抽樣后的頻譜、修正型離軸全息函數(shù)抽樣后的頻譜 由上圖可知，對修正離軸全息函數(shù)抽樣制作計(jì)算全息圖由上圖可知，對修正離軸全息函數(shù)抽樣制作計(jì)算全息圖時(shí)，其抽樣間隔是時(shí)，其抽樣間隔是xxB41 yyB21 于是總的抽樣點(diǎn)數(shù)就降為原為的于是總的抽樣點(diǎn)數(shù)就降為原為的1/4，這時(shí)計(jì)算全息圖的頻，這時(shí)計(jì)算全息圖的頻譜如圖譜如圖e。 應(yīng)該指出，載頻在全息圖上的表現(xiàn)形式是余弦型條紋的間應(yīng)該指出，載頻在全息圖上的表現(xiàn)形式是余弦型條紋的間距，這與光學(xué)全息是相同的，但光學(xué)離軸全息函數(shù)與我們構(gòu)造距，這與光學(xué)全息是相同的，但光學(xué)離軸全息函數(shù)與我們構(gòu)造的修正離軸全息函數(shù)的頻譜結(jié)構(gòu)不同，因此載頻也不同。選取的修正離軸全息函數(shù)的頻譜結(jié)構(gòu)不同，因此載頻也不同。選取載頻的目的是保證全息函數(shù)在頻域中載頻的目的是保證全息函數(shù)在頻域中各分量不混疊各分量不混疊。對全息函。對全息函數(shù)進(jìn)行抽樣是制作計(jì)算全息圖的要求，抽樣間隔必須保證全息數(shù)進(jìn)行抽樣是制作計(jì)算全息圖的要求，抽樣間隔必須保證全息函數(shù)的函數(shù)的整體頻譜整體頻譜（包括各個(gè)結(jié)構(gòu)分量）（包括各個(gè)結(jié)構(gòu)分量）不混疊不混疊，兩個(gè)概念是不，兩個(gè)概念是不同的。同的。 但是由于加進(jìn)了偏置分量，增加了記錄的全息圖的空間但是由于加進(jìn)了偏置分量，增加了記錄的全息圖的空間帶寬積，因此增加了抽樣點(diǎn)數(shù)。一般來說，物波函數(shù)的信息帶寬積，因此增加了抽樣點(diǎn)數(shù)。一般來說，物波函數(shù)的信息容量越大，抽樣點(diǎn)數(shù)就越多，對于任容量越大，抽樣點(diǎn)數(shù)就越多，對于任 一種編碼方法都不能一種編碼方法都不能違背抽樣定理的，正如前面所述，避免了對相位的編碼，但違背抽樣定理的，正如前面所述，避免了對相位的編碼，但又以增加抽樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)。又以增加抽樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)。 說明：上述以常量為偏置項(xiàng)的全息圖是博奇說明：上述以常量為偏置項(xiàng)的全息圖是博奇1966年提出年提出的，稱為的，稱為博奇全息圖博奇全息圖。由于計(jì)算機(jī)處理的靈活性，偏置項(xiàng)還。由于計(jì)算機(jī)處理的靈活性，偏置項(xiàng)還可以采用其它形式。加進(jìn)偏置項(xiàng)的目的是使全息函數(shù)變成可以采用其它形式。加進(jìn)偏置項(xiàng)的目的是使全息函數(shù)變成實(shí)實(shí)值值非負(fù)函數(shù)，每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在相位編非負(fù)函數(shù)，每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在相位編碼問題，比同時(shí)對振幅和相位編碼的方法簡便。碼問題，比同時(shí)對振幅和相位編碼的方法簡便。 由于每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此在制作全息圖時(shí)，只由于每個(gè)樣點(diǎn)都是實(shí)的非負(fù)值，因此在制作全息圖時(shí)，只需要在每個(gè)單元中用需要在每個(gè)單元中用開孔大小開孔大小或或灰度等級灰度等級來表示這個(gè)實(shí)的非負(fù)來表示這個(gè)實(shí)的非負(fù)值就行了。值就行了。6-3 計(jì)算像面全息計(jì)算像面全息 計(jì)算像面全息與傅里葉變換全息不同之處僅在于被記錄計(jì)算像面全息與傅里葉變換全息不同之處僅在于被記錄的復(fù)數(shù)波面是的復(fù)數(shù)波面是物波函數(shù)物波函數(shù)本身，或者是物波的本身，或者是物波的像場分布像場分布，因此，因此只要對物波函數(shù)進(jìn)行抽樣和編碼。同樣可以采用多種方法對只要對物波函數(shù)進(jìn)行抽樣和編碼。同樣可以采用多種方法對物波函數(shù)進(jìn)行編碼。下圖是像面全息的再現(xiàn)示意圖。物波函數(shù)進(jìn)行編碼。下圖是像面全息的再現(xiàn)示意圖。xyxy ffff1 抽樣 設(shè)物設(shè)物波（或其像）的復(fù)振幅分布為波（或其像）的復(fù)振幅分布為 進(jìn)一步假定物波函數(shù)在空域和頻域都是進(jìn)一步假定物波函數(shù)在空域和頻域都是有限的因?yàn)槲锊婧腿D面重合，有限的因?yàn)槲锊婧腿D面重合，根據(jù)抽樣定理的要求，可以確定在全息根據(jù)抽樣定理的要求，可以確定在全息圖上的抽樣間距抽樣后的物波函數(shù)可圖上的抽樣間距抽樣后的物波函數(shù)可以表示為下列離散形式以表示為下列離散形式2 編碼編碼 對每一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)數(shù)值，分解為復(fù)平面對每一個(gè)樣點(diǎn)的復(fù)數(shù)值，分解為復(fù)平面上實(shí)軸和虛軸正負(fù)方向上的四個(gè)分量，上實(shí)軸和虛軸正負(fù)方向上的四個(gè)分量， 其中其中 在上述四個(gè)分量中，對于一個(gè)確定復(fù)數(shù)在上述四個(gè)分量中，對于一個(gè)確定復(fù)數(shù)的分解，最多只有兩個(gè)分量非零將每的分解，最多只有兩個(gè)分量非零將每個(gè)抽樣單元分成四個(gè)等距子單元，如圖個(gè)抽樣單元分成四個(gè)等距子單元，如圖641所示當(dāng)一束平行光垂直照射全所示當(dāng)一束平行光垂直照射全息圖觀察一級衍射波形時(shí)，可以看到從息圖觀察一級衍射波形時(shí)，可以看到從子樣點(diǎn)子樣點(diǎn)F2，F(xiàn)3，F(xiàn)4發(fā)出的光線與發(fā)出的光線與F1發(fā)出的發(fā)出的光線之間的光程差分別為光線之間的光程差分別為/4，/2，3/4，相應(yīng)的相位差為相應(yīng)的相位差為 四個(gè)分量波組合起來就形成四個(gè)分量波組合起來就形成 即合成了樣點(diǎn)處的復(fù)數(shù)波前。即合成了樣點(diǎn)處的復(fù)數(shù)波前。 如圖3 全息圖的繪制和再現(xiàn)全息圖的繪制和再現(xiàn) 每個(gè)抽樣單元所分解的四個(gè)分量，實(shí)際每個(gè)抽樣單元所分解的四個(gè)分量，實(shí)際上最多只有兩個(gè)分量為非零值。若作成上最多只有兩個(gè)分量為非零值。若作成灰階計(jì)算全息圖，則需要用成圖設(shè)備控灰階計(jì)算全息圖，則需要用成圖設(shè)備控制每個(gè)子單元的灰度，以掃描出一張灰制每個(gè)子單元的灰度，以掃描出一張灰階全息圖。若作成具有二元透過率的全階全息圖。若作成具有二元透過率的全息圖，則需要用繪圖設(shè)備控制子單元的息圖，則需要用繪圖設(shè)備控制子單元的開孔面積。如果成圖設(shè)備的空間分辨率開孔面積。如果成圖設(shè)備的空間分辨率不夠高，所繪制的原圖還需縮版到合適不夠高，所繪制的原圖還需縮版到合適尺寸，才能得到實(shí)際可用的計(jì)算全息圖尺寸，才能得到實(shí)際可用的計(jì)算全息圖。 再現(xiàn)光路如圖再現(xiàn)光路如圖642所示，用平行光垂直照射全息所示，用平行光垂直照射全息圖，在透鏡圖，在透鏡L1的后焦面上產(chǎn)生全息圖的頻譜。若的后焦面上產(chǎn)生全息圖的頻譜。若在該平面上放置空間濾波器讓所需的衍射級次在該平面上放置空間濾波器讓所需的衍射級次通過，則在像面上得到所需的復(fù)數(shù)物波波面通過，則在像面上得到所需的復(fù)數(shù)物波波面f(x,y)，如果制作全息圖時(shí)對物波的抽樣不滿足抽樣定如果制作全息圖時(shí)對物波的抽樣不滿足抽樣定理，則再現(xiàn)時(shí)譜面上將產(chǎn)生頻譜混疊，因而不能理，則再現(xiàn)時(shí)譜面上將產(chǎn)生頻譜混疊，因而不能準(zhǔn)確地恢復(fù)原始物波。準(zhǔn)確地恢復(fù)原始物波。圖642 像面全息的再現(xiàn)4 四階迂回相位編碼的一個(gè)理論解釋四階迂回相位編碼的一個(gè)理論解釋 在這一節(jié)中，以四階迂回位相編碼方法為例介在這一節(jié)中，以四階迂回位相編碼方法為例介紹了計(jì)算像全息。通過編碼和再現(xiàn)的過程，我紹了計(jì)算像全息。通過編碼和再現(xiàn)的過程，我們從延遲抽樣的概念出發(fā)，對于四階迂回位相們從延遲抽樣的概念出發(fā)，對于四階迂回位相全息給出另一個(gè)理論解釋。全息給出另一個(gè)理論解釋。 設(shè)設(shè)f(x)是一個(gè)有限帶寬的函數(shù)，其抽樣函數(shù)是一個(gè)有限帶寬的函數(shù)，其抽樣函數(shù)為為fs(x)，其抽樣間隔為其抽樣間隔為dx，則則 如果對原函數(shù)抽樣時(shí)，抽樣點(diǎn)對原點(diǎn)有如果對原函數(shù)抽樣時(shí)，抽樣點(diǎn)對原點(diǎn)有一個(gè)小的偏移量一個(gè)小的偏移量，則抽樣函數(shù)可改寫為則抽樣函數(shù)可改寫為 然后將然后將fs(x)通過一個(gè)低通濾波器，就可以通過一個(gè)低通濾波器，就可以從從fs(x)中恢復(fù)中恢復(fù)f(x)這一過程已在前面討這一過程已在前面討論抽樣定理時(shí)給予證明。但是如果論抽樣定理時(shí)給予證明。但是如果fs(x)通通過帶通濾波器過帶通濾波器 則該濾波器的脈沖響應(yīng)為則該濾波器的脈沖響應(yīng)為 由此可以得到濾波后的輸出，它是抽樣由此可以得到濾波后的輸出，它是抽樣函數(shù)函數(shù)fs(x)與濾波器脈沖響應(yīng)與濾波器脈沖響應(yīng)h(x)的卷積，的卷積，即即 根據(jù)抽樣定理，上式中最后一個(gè)求和項(xiàng)根據(jù)抽樣定理，上式中最后一個(gè)求和項(xiàng)恰好是抽樣定理所描述的原函數(shù)恰好是抽樣定理所描述的原函數(shù)f(x)，因因此上式可簡化為此上式可簡化為 上式中第一項(xiàng)的線性位相表示再現(xiàn)像的傳播方向與光軸之間有一夾角。第二項(xiàng)是由于延遲抽樣加上帶通濾波所產(chǎn)生的附加位相。因此這種延遲抽樣的概念可用來對位相進(jìn)行編碼。6-4 計(jì)算全息干涉圖計(jì)算全息干涉圖 光學(xué)記錄的全息圖是一種兩束光的干涉條紋，如果用光學(xué)記錄的全息圖是一種兩束光的干涉條紋，如果用人工的方法把干涉人工的方法把干涉( (指亮紋和暗紋指亮紋和暗紋) )的位置計(jì)算出來，再用的位置計(jì)算出來，再用繪圖機(jī)繪制，經(jīng)過精縮以后就是一幅全息圖。這種黑白條繪圖機(jī)繪制，經(jīng)過精縮以后就是一幅全息圖。這種黑白條紋，通過精縮成為透明與不透明相間的條紋膠片，就稱為紋，通過精縮成為透明與不透明相間的條紋膠片，就稱為計(jì)算計(jì)算二元全息圖二元全息圖。實(shí)際上這種二元全息圖與。實(shí)際上這種二元全息圖與過曝光過曝光非線性非線性記錄的光學(xué)全息圖是非常相似的。記錄的光學(xué)全息圖是非常相似的。 計(jì)算過程可模擬為一個(gè)非線性限幅器運(yùn)算來完成，其工作計(jì)算過程可模擬為一個(gè)非線性限幅器運(yùn)算來完成，其工作原理的框圖如下圖所示。原理的框圖如下圖所示。Tx 2cos輸入函數(shù)輸入函數(shù) q cos偏置函數(shù)偏置函數(shù)x)(xhqTTT2T T2 輸入輸入輸出輸出10)(xh q cosTx 2cos輸入輸入輸出輸出10)(xh Tx 2cos q cosx)(xhqTTT2T T2 輸出的是二元函數(shù)，其寬度為輸出的是二元函數(shù)，其寬度為qT的矩形脈沖的矩形脈沖,它可以展開成它可以展開成傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) Txjmmqmxhm 2exp)sin()( Txjxh 2exp)(, 1m輸入輸入輸出輸出10)(xh Tx 2cos q cosx)(xhqTTT2T T2 如果限幅器的輸入為如果限幅器的輸入為 ),(cosyxTx 2偏置函數(shù)偏置函數(shù) ),(cosyxq 其中其中 /),(arcsin),(yxAyxq 、),(yxA),(yx 分別是物光波的振幅和相位函數(shù)分別是物光波的振幅和相位函數(shù)其輸入輸出波形如下圖所示其輸入輸出波形如下圖所示.這時(shí)輸出脈沖寬度受到這時(shí)輸出脈沖寬度受到q(x, y)，即，即A(x,y)的調(diào)制，輸出脈沖的位置受到的調(diào)制，輸出脈沖的位置受到),(yx 的調(diào)制的調(diào)制. .輸入輸入輸出輸出10)(xh ),(cosyxTx 2 ),(cosyxq 輸出的二元函數(shù)的一般形式是輸出的二元函數(shù)的一般形式是 ),(cosyxTx 2 ),(cosyxq Tyxq),( ),(2exp),(sin),(yxTxjmmyxqmyxhm 當(dāng)用單位振幅的平面波垂直照射全息圖時(shí)，透過光波就是上式當(dāng)用單位振幅的平面波垂直照射全息圖時(shí)，透過光波就是上式二元全息函數(shù)。我們只對二元全息函數(shù)。我們只對m =1或或m = -1感興趣，取感興趣，取m = -1，于，于是有是有 ),(2exp),(sin),(yxTxjyxqyxh TxjyxjyxA 2exp),(exp),(如果限幅器的輸入為如果限幅器的輸入為 ),(cosyxTx 2則透射光波則透射光波+1級級衍射項(xiàng)將再現(xiàn)原來的物光波。衍射項(xiàng)將再現(xiàn)原來的物光波。上式表明，透射光波的上式表明，透射光波的-1級衍射項(xiàng)完全再現(xiàn)了物光波級衍射項(xiàng)完全再現(xiàn)了物光波 ),(exp),(yxjyxA 其中線性相位項(xiàng)其中線性相位項(xiàng) Txj 2exp作為載波給出了再現(xiàn)物光波作為載波給出了再現(xiàn)物光波的傳播方向的傳播方向 二元全息函數(shù)的取值為二元全息函數(shù)的取值為0或或1，為了利用計(jì)算機(jī)控制繪圖儀，為了利用計(jì)算機(jī)控制繪圖儀制作全息干涉圖，只需要確定二元全息函數(shù)制作全息干涉圖，只需要確定二元全息函數(shù)h(x, y)由由01或由或由10的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)的坐標(biāo)位置，這樣，滿足方程的坐標(biāo)位置，這樣，滿足方程02 ),(cos),(cosyxqyxTx 的點(diǎn)就構(gòu)成了二元全息干涉圖的畫線邊界，也即是的點(diǎn)就構(gòu)成了二元全息干涉圖的畫線邊界，也即是),(),(yxqnyxTx 22 210 ,n其中其中-表示表示h(x, y)由由0-1的前沿點(diǎn)，的前沿點(diǎn)，+表示由表示由1-0的后沿點(diǎn)的后沿點(diǎn)1 ),(yxh的條紋，其坐標(biāo)應(yīng)滿足方程的條紋，其坐標(biāo)應(yīng)滿足方程02 ),(cos),(cosyxqyxTx 222),(),(),(yxqnyxTxyxq 上面兩個(gè)方程確定了計(jì)算全息干涉圖上條紋的位置和形上面兩個(gè)方程確定了計(jì)算全息干涉圖上條紋的位置和形狀。求解基本方程并確定畫線邊界后，就可以用計(jì)算機(jī)狀。求解基本方程并確定畫線邊界后，就可以用計(jì)算機(jī)控制繪圖設(shè)備畫出干涉圖?？刂评L圖設(shè)備畫出干涉圖。當(dāng)要再現(xiàn)的物波函數(shù)只有相位變化，即當(dāng)要再現(xiàn)的物波函數(shù)只有相位變化，即A(x, y)等于常數(shù)等于常數(shù)時(shí)，基本方程可以簡化為如下形式，設(shè)時(shí)，基本方程可以簡化為如下形式，設(shè)q=0nyxTx 22 ),(此時(shí)，可以用此時(shí)，可以用細(xì)線條繪制全息圖細(xì)線條繪制全息圖，所以計(jì)算全息干涉特別，所以計(jì)算全息干涉特別適合于再現(xiàn)適合于再現(xiàn)純相位純相位的物波。的物波。載波頻率的選擇載波頻率的選擇T1是載波的空間頻率，其選擇與光學(xué)記錄的全息圖相同，要避免在空間是載波的空間頻率，其選擇與光學(xué)記錄的全息圖相同，要避免在空間域第域第一級衍射波一級衍射波和二級以上的衍射波不相互重疊，載波頻率和二級以上的衍射波不相互重疊，載波頻率xBT31 xB是物光波局部空間最高頻率是物光波局部空間最高頻率實(shí)際中，取實(shí)際中，取xBT41 xBxB2T1T2 例：說明繪制一個(gè)球面波的二元全息干涉圖的制作方法例：說明繪制一個(gè)球面波的二元全息干涉圖的制作方法nyxTxm 2),(2 （1 1）由方程）由方程求局部空間頻率求局部