《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 2.2 圓與方程 2.2.2 直線與圓的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè) 蘇教版必修2.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 2.2 圓與方程 2.2.2 直線與圓的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè) 蘇教版必修2.doc（3頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2.2.2 直線與圓的位置關(guān)系 [學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練] 1．經(jīng)過點(diǎn)(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程為________． 解析：設(shè)切線的斜率為k， 則切線方程為y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0. ∴＝5. 解得k＝或k＝－. ∴所求切線方程為y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)． 即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0. 答案：4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0 2．圓心坐標(biāo)為(2，－1)的圓在直線x－y－1＝0上截得的弦長為2，則此圓的方程為________． 解析：圓心到直線的距離d＝＝，由于弦心距d、半徑r及弦長的一半構(gòu)成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圓的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 3．若直線ax＋by＋1＝0與圓C：x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是________． 解析：由題意<1， ∴a2＋b2>1，點(diǎn)P(a，b)到圓心的距離為 ＝>1＝r，∴點(diǎn)P在圓C外． 答案：點(diǎn)P在圓C外 4．過直線x＋y－2＝0上點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)P(x，y)，則由已知可得OP(O為原點(diǎn))與切線的夾角為30，則OP＝2，由，可得.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)． 答案：(，) 5．圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上到直線x＋y＋1＝0的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________． 解析：圓心(－1，－2)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝，又圓半徑r＝2，所以滿足條件的點(diǎn)共有3個(gè)． 答案：3 6．過點(diǎn)A(1，)的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k等于________． 解析：由(1－2)2＋()2＝3<4可知，點(diǎn)A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，圓心為O(2,0)，要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小，只能是直線l⊥OA，所以kl＝－＝－＝. 答案： 7．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0. (1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切？ (2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB＝2時(shí)，求直線l的方程． 解：將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方后得到標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2. (1)若直線l與圓C相切，則有＝2. 解得a＝－. 即當(dāng)a＝－時(shí)，直線l與圓C相切． (2)法一：過圓心C作CD⊥AB于點(diǎn)D， 則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)， 得 解得a＝－7或a＝－1. 即直線l的方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 法二：聯(lián)立方程組并消去y，得(a2＋1)x2＋4(a2＋2a)x＋4(a2＋4a＋3)＝0. 設(shè)此方程的兩根分別為x1，x2， 由AB＝2＝， 可求出a＝－7或a＝－1. 即直線l的方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 8．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問：是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解：設(shè)這樣的直線存在，其方程為y＝x＋m， 它與圓C的交點(diǎn)設(shè)為A(x1，y1)、B(x2，y2)． 則由 得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0 (*) ∴ ∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2. ∵以弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴∠AOB＝90，即OA⊥OB.由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0. ∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0. m2＋4m－4－m(m＋1)＋m2＝0.m2＋3m－4＝0. ∴m＝1或m＝－4. 容易驗(yàn)證：m＝1或m＝－4時(shí)(*)有實(shí)根．故存在這樣的直線，有兩條，其方程為y＝x＋1或y＝x－4. [高考水平訓(xùn)練] 1．已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上．直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________． 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0,0)(x0>0)，由于圓過點(diǎn)(1,0)，則半徑r＝|x0－1|.圓心到直線l的距離為d＝.由弦長為2可知()2＝(x0－1)2－2， 整理得(x0－1)2＝4. ∴x0－1＝2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)． 因此圓心為(3,0)，由此可求得過圓心且與直線y＝x－1垂直的直線方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________． 解析：由題設(shè)，得若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0≤d＜1. ∵d＝＝， ∴0≤|c|＜13，即c∈(－13,13)． 答案：(－13,13) 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值． 解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)與x軸的交點(diǎn)為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2， 解得t＝1. 則圓C的半徑為＝3. 所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組 消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2＞0. 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①②得a＝－1，滿足Δ＞0，故a＝－1. 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直線l過點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程； (2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，所以圓心C1(－3,1)到直線l的距離d＝＝1，由點(diǎn)到直線的距離公式得＝1， 化簡得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－. 所以直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，直線l1，l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0， －x－y＋n＋m＝0. 因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等，由垂徑定理，得：圓心C1(－3,1)到直線l1的距離與圓心C2(4,5)到直線l2的距離相等，故有＝，化簡得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5，關(guān)于k的方程有無窮多解，有或，解得或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－)或(－，)．