2.2.2 直線與圓的位置關(guān)系 學業(yè)水平訓練1經(jīng)過點(1，7)且與圓x2y225相切的直線方程為_解析：設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切線方程為y7(x1)或y7(x1)即4x3y250或3x4y250.答案：4x3y250或3x4y2502圓心坐標為(2，1)的圓在直線xy10上截得的弦長為2，則此圓的方程為_解析：圓心到直線的距離d，由于弦心距d、半徑r及弦長的一半構(gòu)成直角三角形，所以r2d2()24，所以所求圓的方程是(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)243若直線axby10與圓C：x2y21相交，則點P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是_解析：由題意<1，a2b2>1，點P(a，b)到圓心的距離為>1r，點P在圓C外答案：點P在圓C外4過直線xy20上點P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標是_解析：設(shè)P(x，y)，則由已知可得OP(O為原點)與切線的夾角為30，則OP2，由，可得.故點P的坐標是(，)答案：(，)5圓(x1)2(y2)28上到直線xy10的距離為的點的個數(shù)為_解析：圓心(1，2)到直線xy10的距離d，又圓半徑r2，所以滿足條件的點共有3個答案：36過點A(1，)的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k等于_解析：由(12)2()23<4可知，點A(1，)在圓(x2)2y24的內(nèi)部，圓心為O(2,0)，要使得劣弧所對的圓心角最小，只能是直線lOA，所以kl.答案：7已知圓C：x2y28y120，直線l：axy2a0.(1)當a為何值時，直線l與圓C相切？(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且AB2時，求直線l的方程解：將圓C的方程x2y28y120配方后得到標準方程x2(y4)24，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線l與圓C相切，則有2.解得a.即當a時，直線l與圓C相切(2)法一：過圓心C作CDAB于點D，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，得解得a7或a1.即直線l的方程為7xy140或xy20.法二：聯(lián)立方程組并消去y，得(a21)x24(a22a)x4(a24a3)0.設(shè)此方程的兩根分別為x1，x2，由AB2，可求出a7或a1.即直線l的方程為7xy140或xy20.8已知圓C：x2y22x4y40，問：是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解：設(shè)這樣的直線存在，其方程為yxm，它與圓C的交點設(shè)為A(x1，y1)、B(x2，y2)則由得2x22(m1)xm24m40 (*)y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2.以弦AB為直徑的圓過原點，AOB90，即OAOB.由OAOB，得x1x2y1y20.2x1x2m(x1x2)m20.m24m4m(m1)m20.m23m40.m1或m4.容易驗證：m1或m4時(*)有實根故存在這樣的直線，有兩條，其方程為yx1或yx4.高考水平訓練1已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上直線l：yx1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_解析：設(shè)圓心坐標為(x0,0)(x0>0)，由于圓過點(1,0)，則半徑r|x01|.圓心到直線l的距離為d.由弦長為2可知()2(x01)22，整理得(x01)24.x012，x03或x01(舍去) 因此圓心為(3,0)，由此可求得過圓心且與直線yx1垂直的直線方程為y(x3)，即xy30.答案：xy302在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_解析：由題設(shè)，得若圓上有四個點到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0d1.d，0|c|13，即c(13,13)答案：(13,13)3在平面直角坐標系xOy中，曲線yx26x1與坐標軸的交點都在圓C上(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線xya0交于A，B兩點，且OAOB，求a的值解：(1)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)與x軸的交點為(32，0)，(32，0)故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1.則圓C的半徑為3.所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組消去y，得方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判別式5616a4a20.從而x1x24a，x1x2.由于OAOB，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由得a1，滿足0，故a1.4如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x3)2(y1)24和圓C2：(x4)2(y5)24.(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標解：(1)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，即kxy4k0，所以圓心C1(3,1)到直線l的距離d1，由點到直線的距離公式得1，化簡得24k27k0，解得k0或k.所以直線l的方程為y0或y(x4)，即y0或7x24y280.(2)設(shè)點P的坐標為(m，n)，直線l1，l2的方程分別為ynk(xm)，yn(xm)，即kxynkm0，xynm0.因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等，由垂徑定理，得：圓心C1(3,1)到直線l1的距離與圓心C2(4,5)到直線l2的距離相等，故有，化簡得(2mn)kmn3或(mn8)kmn5，關(guān)于k的方程有無窮多解，有或，解得或，故點P的坐標為(，)或(，)