單元測(cè)試(四)范圍:三角形限時(shí):45分鐘滿分:100分一、選擇題(每題5分,共30分)1.下列各組數(shù)可能是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)的是()A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112.若ABC與DEF相似,且相似比為13,則ABC與DEF的面積比為()A.13B.19C.31D.133.如圖D4-1,由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正方形的面積為49,則sin -cos =()圖D4-1A.513B.-513C.713D.-7134.如圖D4-2,在RtABC中,ACB=90,A=60,AC=6,將ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到ABC,此時(shí)點(diǎn)A恰好在AB邊上,則點(diǎn)B與點(diǎn)B之間的距離為()圖D4-2A.12B.6C.62D.635.如圖D4-3,在ABC中,C=90,B=30,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以M,N為圓心,大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,有下列說(shuō)法:AD是BAC的平分線;ADC=60;點(diǎn)D在AB的垂直平分線上;SDACSABC=13.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()圖D4-3A.1B.2C.3D.46.矩形ABCD與CEFG如圖D4-4放置,點(diǎn)B,C,E共線,點(diǎn)C,D,G共線,連結(jié)AF,取AF的中點(diǎn)H,連結(jié)GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=()圖D4-4A.1B.23C.22D.52二、填空題(每題5分,共30分)7.我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k,若k=12,則該等腰三角形的頂角為度.8.如圖D4-5,A=D,AC=DF,則需要補(bǔ)充條件(寫(xiě)出一個(gè)即可),才能使ABCDEF.圖D4-59.如圖D4-6,在五角星中,A+B+C+D+E的度數(shù)為.圖D4-610.如圖D4-7,ABC中,AD是中線,BC=8,B=DAC,則線段AC的長(zhǎng)為圖D4-711.如圖D4-8,四邊形ABCD中,AC平分BAD,ACD=ABC=90,E,F分別為AC,CD的中點(diǎn),D=,則BEF的度數(shù)為.(用含的式子表示)圖D4-812.已知等邊三角形ABC的高為4,在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到AB所在直線的距離是1,點(diǎn)P到AC所在直線的距離是2,則點(diǎn)P到BC所在直線的最小距離和最大距離分別是.三、解答題(共40分)13.(8分)如圖D4-9,ABCD,AB=CD,CE=BF.請(qǐng)寫(xiě)出DF與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.圖D4-914.(8分)如圖D4-10,某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一棵古樹(shù)BH和教學(xué)樓CG的高,先在A處用高1.5米的測(cè)角儀測(cè)得古樹(shù)頂端H的仰角HDE為45,此時(shí)教學(xué)樓頂端G恰好在視線DH上,再向前走7米到達(dá)B處,又測(cè)得教學(xué)樓頂端G的仰角GEF為60,A,B,C三點(diǎn)在同一水平線上.(1)計(jì)算古樹(shù)BH的高;(2)計(jì)算教學(xué)樓CG的高.(參考數(shù)據(jù):21.4,31.7)圖D4-1015.(12分)隨州市新蹶水一橋(如圖D4-11)設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于市花蘭花,采用蝴蝶蘭斜拉橋方案,設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為258米,寬32米,為雙向六車(chē)道,2018年4月3日通車(chē).斜拉橋又稱(chēng)斜張橋,主要由索塔、主梁、斜拉索組成.某座斜拉橋的部分截面圖如圖D4-11所示,索塔AB和斜拉索(圖中只畫(huà)出最短的斜拉索DE和最長(zhǎng)的斜拉索AC)均在同一水平面內(nèi),BC在水平橋面上.已知ABC=DEB=45,ACB=30,BE=6米,AB=5BD.(1)求最短的斜拉索DE的長(zhǎng);(2)求最長(zhǎng)的斜拉索AC的長(zhǎng).圖D4-1116.(12分)如圖D4-12,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分BAD,點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且PDAD.(1)證明:BDC=PDC;(2)若AC與BD相交于點(diǎn)E,AB=1,CECP=23,求AE的長(zhǎng).圖D4-12參考答案1.C2.B解析 相似三角形的面積比等于相似比的平方.3.D解析 根據(jù)大正方形面積為169得到直角三角形斜邊為13,小正方形面積為49得直角邊的差為7,想到直角邊為12和5,得到sin-cos=513-1213=-713,故選D.4.D解析 連結(jié)BB.將ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到ABC,CA=CA.又A=60,AAC為等邊三角形,ACA=60,即旋轉(zhuǎn)角為60,BCB=ACA=60,BBC為等邊三角形,BB=BC.又在RtABC中,ACB=90,A=60,AC=6,BB=BC=63.5.D6.C解析 過(guò)點(diǎn)H作HM垂直于CG于點(diǎn)M,設(shè)AF交CG于點(diǎn)O.根據(jù)題意可知GOFDOA,GFAD=OGOD=OFOA=12,所以O(shè)F=12OA=13AF,即AF=3OF,因?yàn)辄c(diǎn)H是AF的中點(diǎn),所以O(shè)H=12AF-13AF=16AF,即AF=6OH,所以O(shè)H=12OF.根據(jù)已知條件可知HOMFOG,可以推出HM=12;同理,通過(guò)HOMAOD,可以推出DM=12DG,即GM=12DG=12.在RtGHM中,GH=HM2+GM2=22.故選C.7.36解析 設(shè)頂角為,則其底角為12(180-),由k=12,可得12(180-)=2,解得=36.8.答案不唯一,如BCA=EFD或AB=DE9.18010.4211.270-3解析 ACD=90,CAD=90-D=90-,E,F分別為AC,CD的中點(diǎn),EFAD,CEF=CAD=90-.AC平分BAD,BAC=CAD=90-,ABC=90,E為AC的中點(diǎn),AE=BE,EBA=BAC=90-,BEC=180-2,BEF=270-3.12.1,7解析 根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形,直線DM與直線NF與AB的距離都為1,直線NG與直線ME與AC的距離都為2,當(dāng)P與N重合時(shí),HN為P到BC的最小距離;當(dāng)P與M重合時(shí), MQ為P到BC的最大距離.根據(jù)題意得NFG與MDE都為等邊三角形,DB=FB=1sin60=233,CE=CG=2sin60=433,DE=DB+BC+CE=233+833+433=1433,FG=BC-BF-CG=233,NH=32FG=1,MQ=32DE=7.故點(diǎn)P到BC所在直線的最小距離和最大距離分別是1,7.13.解:DF=AE.證明:ABCD,B=C.CE=BF,CE-EF=BF-EF,即CF=BE.在ABE和DCF中,AB=CD,B=C,BE=CF,ABEDCF.DF=AE.14.解:(1)在RtDEH中,DEH=90,HDE=45,HE=DE=7米.BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米).(2)設(shè)EF=x米,在RtGEF中,GFE=90,GEF=60,GF=EFtan60=3x.在RtGDF中,GFD=90,GDF=45,DF=GF.7+x=3x.將31.7代入上式,解得x10.GF=3x17.GC=GF+FC=18.5(米).15.解:(1)ABC=DEB=45,BDE=90,BD=DE,在RtBDE中,DE=BEsinABC=6sin45=32(米).即最短斜拉索DE的長(zhǎng)為32米.(2)過(guò)點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M,由(1)知,BD=DE=32,AB=5BD=532=152.在RtABM中,AM=ABsinABC=152sin45=15(米).ACB=30,AMC=90,AC=2AM=215=30(米).即最長(zhǎng)斜拉索AC的長(zhǎng)為30米.16.解析 (1)利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出BDC=PDC;(2)過(guò)點(diǎn)C作CMPD于點(diǎn)M,由相似的證明方法,得出CPMAPD,利用對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系,求出EC的長(zhǎng)即可得出答案.解:(1)證明:AB=AD,AC平分BAD,ACBD,ACD+BDC=90.AC=AD,ACD=ADC.PDAD,ADC+PDC=90,BDC=PDC.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C作CMPD于點(diǎn)M,BDC=PDC,CE=CM.CMP=ADP=90,P=P,CPMAPD,CMAD=PCPA.設(shè)CM=CE=x,CECP=23,PC=32x.AB=AD=AC=1,x1=32x32x+1,解得x=13或x=0(舍去),AE=1-13=23.