第2講 一元二次不等式的解法 本專題在初中學(xué)習(xí)方程、不等和函數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)高中學(xué)習(xí)的需要，共同學(xué)習(xí)簡單的二次方程組及一元二次不等式的解法。問題1： 二次函數(shù)yx2x6的對應(yīng)值表與圖象如下：x32101234y60466406觀察：由對應(yīng)值表及函數(shù)圖象可知當(dāng)x2，或x3時，y0，即x2x60；當(dāng)x2，或x3時，y0，即x2x60；當(dāng)2x3時，y0，即x2x60思考：這就是說，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點是(2，0)與(3，0)，那么一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是2x3上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集問題2：對于一般的一元二次不等式ax2bxc0(a0)怎樣解呢？【歸納總結(jié)】一元二次不等式的解：函數(shù)、方程與不等式000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實根x1,x2(x1x2)有兩相等實根x1x2無實根ax2bxc0(a0)的解集x<x1或x>x2x一切實數(shù)ax2bxc0(a0)的解集x1xx2無解無解今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以1，將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式【典例解析】解下列一元二次不等式：（1）x22x30； （2）xx260；（3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20（4）整理，得(x3)20.由于當(dāng)x3時，(x3)20成立；而對任意的實數(shù)x，(x3)20都不成立，原不等式的解為x3（5）整理，得x2x400，所以，原不等式的解為一切實數(shù)【解題反思】注意一元二次不等式的解題步驟為一看（二次項系數(shù)的正負(fù)）；二判（的情況）；三算（有根求根）； 四寫出解集?！咀兪接?xùn)練】1.解下列不等式：（1） ；（2）；【解析】（1）原不等式可化為， ，方程的兩根是，原不等式的解集為（2）原不等式等價于；原不等式的解集為2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標(biāo)（1，3.2）及部分圖象（如圖所示），其中圖象與橫軸的正半軸交點為（2，0），由圖象可知：當(dāng) 時，函數(shù)值隨著x的增大而減??；關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解是 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向以及對稱軸得出答案即可；利用關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解，即為：y時，求出x的取值范圍求出即可【解析】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標(biāo)（1，3.2），圖象與橫軸的正半軸交點為（2，0），圖象的對稱軸為：x=1，圖象與橫軸的負(fù)半軸交點為：（4，0）；圖象開口向上，a0，圖象的對稱軸為：x=1，當(dāng)x1時，函數(shù)值隨著x的增大而減小；關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解即為：y時，求出x的取值范圍：x2或x4故答案為：1；x2或x4【點評】主要考查了利用函數(shù)圖象求自變量的取值范圍以及二次函數(shù)的增減性等知識，根據(jù)圖象得出是解題關(guān)鍵3.已知不等式的解是求不等式的解【點評】本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來解決問題4.關(guān)于x的一元二次不等式2kx2+kx0的解集為R，求實數(shù)k的取值范圍【分析】（1）由題意得，由此能求出實數(shù)k的取值范圍【解析】由題意得：，不等式（2）化作：k2+3k0，解得：3k0則實數(shù)k的取值范圍是3k0【點評】已知不等式解集的情況，求參數(shù)?？赏ㄟ^根的判別式來建立不等式求參數(shù)值。5.解關(guān)于的一元二次不等式為實數(shù)).【分析】對于一元二次不等式,按其一般解題步驟,首先應(yīng)該將二次項系數(shù)變成正數(shù),本題已滿足這一要求,欲求一元二次不等式的解,要討論根的判別式的符號,而這里的是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式, 的符號取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據(jù)解題的需要,對的符號進行分類討論.【解析】由 ,當(dāng) 方程的解為；所以,原不等式的解集為 或； 當(dāng)0，即a2時，原不等式的解為x；綜上,當(dāng)a2，或a2時，為原不等式的解?！军c評】求解，由于含有參數(shù)，使的值不確定，故需要對分三種情況處理。