專題15 平面向量概念及線性運算、平面向量基本定理一、 考綱要求：1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義二、概念掌握及解題上的注意點： (1.平面向量的線性運算方法不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解.含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.(2.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置.利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.比較、觀察可知所求.(3.選取基向量，向量之間的相互表示，重視平行四邊形法則.( 4.|ab|與|ab|的幾何意義：以向量a，b為邊所作平行四邊形的兩條對角線的長度.共線向量定理的三個應(yīng)用( 1.證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)，使ab，則a與b共線.( 2.證明三點共線：若存在實數(shù)，使，則A，B，C三點共線.( 3.求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程組，求參數(shù)的值.三、高考考題題例分析： 例1.(2015全國卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()ABCD【答案】 A【解析】：(1)().故選A例2.(2015高考新課標1)設(shè)為所在平面內(nèi)一點，則（ ）（A） (B)（C） (D)【答案】A【解析】：由題知=，故選A.例3.(2015湖南)已知點，在圓上運動，且，若點的坐標為，則的最大值為（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.例4.(2015高考北京)在中，點，滿足，若，則；【答案】【解析】:特殊化，不妨設(shè)，利用坐標法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標系，則，.例5.(2015江蘇高考)已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 則的值為_.【答案】【解析】:由題意得：例6(2015高考新課標2)設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)_【答案】【解析】:因為向量與平行，所以，則所以例7.（2018全國卷I）在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（）A BC+ D+【答案】A例8.（2018全國卷III）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），則=【答案】例9.（2018天津卷）如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD=120，AB=AD=1若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（）A B C D3【答案】【解析】：如圖所示，以D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，過點B做BNx軸，過點B做BMy軸，ABBC，ADCD，BAD=120，AB=AD=1，AN=ABcos60=，BN=ABsin60=，DN=1+=，BM=，CM=MBtan30=，DC=DM+MC=，A（1，0），B（，），C（0，），平面向量概念及線性運算練習(xí)一、 選擇題： 1D是ABC的邊AB的中點，則向量等于 ()A BC D【答案】A【解析】：如圖，.2給出下列命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若a，b都是單位向量，則ab；向量與相等則所有正確命題的序號是 ()ABCD【答案】A3.設(shè)a0為單位向量，下述命題中：若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.假命題的個數(shù)是 ()A0B1 C2D3【答案】D【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.4.設(shè)a是非零向量，是非零實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是() Aa與a的方向相反B|a|a|Ca與2a的方向相同D|a|a【答案】C【解析】：A中，當0時，a與a方向相同，故A不正確；B中，當11時，|a|a|，故B不正確；C中，因為20，所以a與2a方向相同，故C正確；D中，向量不能比較大小，故D不正確，故選C5.給出下列四個命題： 若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號是 ()A B C D【答案】A正確ab，a，b的長度相等且方向相同，又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.故選A6已知3，a，b，c，則下列等式中成立的是 ()AcbaBc2baCc2abDcab【答案】A【解析】：因為3，a，b，所以()ba，故選A7.設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點，則等于 ()A B2C3 D4【答案】 D 【解析】：因為M是平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點，所以2，2，所以4.8(2017全國卷)設(shè)非零向量a，b滿足|ab|ab|，則 ()AabB|a|b|CabD|a|b|【答案】A9如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若(，為實數(shù))，則22 ()AB C1D【答案】A【解析】：()，所以，故22，故選A10在ABC中，若P是直線BN上的一點，且滿足m，則實數(shù)m的值為 () A4B1C1D4【答案】B11.已知向量i，j不共線，且imj，nij，m1，若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應(yīng)滿足的條件是 ()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1【答案】C【解析】：因為A，B，D三點共線，所以，存在非零實數(shù)，使得，即imj(nij)，所以(1n)i(m)j0，又因為i與j不共線，所以則mn1，故選C12設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為 ()A3 B4 C5D6【答案】B【解析】：如圖，D為AB的中點，則()，又20，O為CD的中點，又D為AB中點，SAOCSADCSABC，則4. 二、填空題13已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量，滿足等式，則四邊形ABCD的形狀為_【答案】平行四邊形【解析】：由得，所以，所以四邊形ABCD為平行四邊形14(2015全國卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.【答案】12【解析】：ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得15在ABC中，點M，N滿足2，.若xy，則x_；y_. 【答案】16在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于點H，M為AH的中點若，則_.【答案】【解析】：因為AB2，ABC60，AHBC，所以BH1.因為BC3，所以BHBC因為點M為AH的中點，所以()，又，所以，所以.三、解答題17在ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB2GE，設(shè)a，b，試用a，b表示，.【答案】ab； ab.18設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值【解析】(1)證明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又與有公共點B，A，B，D三點共線(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，(R)，即3e1ke2e14e2，即解得k12. 19已知O，A，B是不共線的三點，且mn(m，nR). (1)若mn1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：mn1.【解析】證明(1)若mn1，則m(1m)m()，m()，即m，與共線又與有公共點B，A，P，B三點共線