5.2 空間中的平行與垂直【課時作業(yè)】A級1設(shè)，是兩個不同的平面，m是直線且m，“m”是“”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)m時，過m的平面與可能平行也可能相交，因而m/ ；當(dāng)時，內(nèi)任一直線與平行，因為m，所以m.綜上知，“m”是“”的必要而不充分條件答案：B2(2018全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A. BC. D解析：如圖，因為ABCD，所以AE與CD所成的角為EAB.在RtABE中，設(shè)AB2，則BE，則tanEAB，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.故選C.答案：C3已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A. BC. D解析：如圖，取P1為底面ABC的中心，連接PP1，AP1，由底面是邊長為的正三角形，知底面三角形的高為，面積為，又三棱柱的體積為，則高PP1，AP11，PAP1為所求角，因為tanPAP1，所以PAP1.答案：B4如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是()A BC D解析：由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，結(jié)合知正確；由知不正確故選B.答案：B5如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(不含邊界)，則點P在底面ABC的投影可能在()AABC的內(nèi)部 BABC的外部C直線AB上 D以上均有可能解析：因為ACAB，ACBC1，所以AC平面ABC1，AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(不含邊界)，則點P在底面ABC的投影可能在ABC的外部答案：B6若P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出以下四個命題：OM平面PCD；OM平面PBC；OM平面PDA；OM平面PBA.其中正確的命題是_解析：由已知可得OMPD，OM平面PCD且OM平面PAD.故正確的只有.答案：7已知a，b，l表示三條不同的直線，表示三個不同的平面，有下列四個命題：若a，b，且ab，則；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，則；若，a，b，ab，則b；若a，b，la，lb，l，則l.其中正確的命題是_(填序號)解析：在正方體A1B1C1D1ABCD中，可令平面A1B1CD為，平面DCC1D1為，平面A1B1C1D1為，又平面A1B1CD平面DCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因為CDC1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即與不平行，故錯誤因為a，b相交，假設(shè)其確定的平面為，根據(jù)a，b，可得.同理可得，因此，正確由兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知正確當(dāng)ab時，l垂直于平面內(nèi)兩條不相交直線，不可得出l，錯誤故填.答案：8.如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出的下列結(jié)論正確的是_AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.解析：由題意知PA平面ABC，所以PABC.又ACBC，PAACA，所以BC平面PAC.所以BCAF.因為AFPC，BCPCC，所以AF平面PBC，PB平面PBC，所以AFPB，又AEPB，AEAFA，所以PB平面AEF，所以PBEF.故正確答案：9(2018鄭州市第一次質(zhì)量測試)如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D為線段AB上的點，且AD2DB，PDAC.(1)求證：PD平面ABC；(2)若PAB ，求點B到平面PAC的距離解析：(1)證明：cosABC，CD222(2)2222cosABC8，CD2，CD2AD2AC2，則CDAB.平面PAB平面ABC，CD平面PAB，PD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)得PDAB，PAB，PDAD4，PA4，在RtPCD中，PC2，PAC是等腰三角形，可求得SPAC8.設(shè)點B到平面PAC的距離為d，由VBPACVPABC，得SPACdSABCPD，d3.故點B到平面PAC的距離為3.10在如圖所示的多面體ABCDE中，已知ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD平面ABE，AEB90，AEBE.(1)若M是DE的中點，試在AC上找一點N，使得MN平面ABE，并給出證明；(2)求多面體ABCDE的體積解析：(1)連接BD，交AC于點N，則點N即為所求，證明如下：ABCD是正方形，N是BD的中點，又M是DE的中點，MNBE，BE平面ABE，MN平面ABE，MN平面ABE.(2)取AB的中點F，連接EF，ABE是等腰直角三角形，且AB2，EFAB，EFAB1，平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，EF平面ABE，EF平面ABCD，即EF為四棱錐EABCD的高，V四棱錐EABCDS正方形ABCDEF221.B級1如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面 SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解析：易證AC平面SBD，因而ACSB，A正確；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，B正確；由于SA，SC與平面SBD的相對位置一樣，因而所成的角相同故選D.答案：D2把平面圖形M上的所有點在一個平面上的射影構(gòu)成的圖形M稱為圖形M在這個平面上的射影如圖，在長方體ABCDEFGH中，AB5，AD4，AE3.則EBD在平面EBC上的射影的面積是()A2 BC10 D30解析：連接HC，過D作DMHC，連接ME，MB，因為BC平面HCD，又DM平面HCD，所以BCDM，因為BCHCC，所以DM平面HCBE，即D在平面HCBE內(nèi)的射影為M，所以EBD在平面HCBE內(nèi)的射影為EBM，在長方體中，HCBE，所以MBE的面積等于CBE的面積，所以EBD在平面EBC上的射影的面積為42，故選A.答案：A3如圖所示，平行四邊形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積和體積解析：(1)證明：在ABD中，因為AB2，AD4，DAB60，所以BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.又DE平面EBD，所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因為CDAB，所以CDBD，從而DEBD.在RtDBE中，因為DB2，DEDCAB2，所以SEDBBDDE2.因為AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因為BEBCAD4，所以SEABABBE4.因為DEBD，平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，所以DE平面ABD，而AD平面ABD，所以DEAD，故SEADADDE4.故三棱錐EABD的側(cè)面積SSEDBSEABSEAD82.因為DE平面ABD，且SABDSEBD2，DE2，所以V三棱錐EABDSABDDE22.4如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA，E是側(cè)棱PA上的動點(1)求四棱錐PABCD的體積；(2)如果E是PA的中點，求證：PC平面BDE；(3)不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，是否都有BDCE？證明你的結(jié)論解析：(1)因為PA平面ABCD，所以VPABCDS正方形ABCDPA12，即四棱錐PABCD的體積為.(2)證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OE.因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點，又E是PA的中點，所以PCOE，因為PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE.(3)不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE.證明如下：因為四邊形ABCD是正方形，所以BDAC，因為PA底面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDPA，又ACPAA，所以BD平面PAC.因為不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有CE平面PAC，所以不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE.