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6.1 直線與圓 【課時作業(yè)】 A級 1．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3x＋2a＝0平行，則l1與l2之間的距離為(　　) A. B．4 C. D．2 解析：　由l1∥l2，得＝≠，解得a＝－1， 所以l1與l2的方程分別為l1：x－y＋6＝0， l2：x－y＋＝0， 所以l1與l2之間的距離d＝＝. 答案：　C 2．已知直線l：y＝x＋1平分圓C：(x－1)2＋(y－b)2＝4的周長，則直線x＝3與圓C的位置關系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定 解析：　由已知得，圓心C(1，b)在直線l：y＝x＋1上，所以b＝1＋1＝2，即圓心C(1,2)，半徑為r＝2.由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時，直線與圓相切． 答案：　B 3．光線從點A(－3,4)發(fā)出，經過x軸反射，再經過y軸反射，最后經過點B(－2,6)，則經y軸反射的光線的方程為(　　) A．2x＋y－2＝0 B．2x－y＋2＝0 C．2x＋y＋2＝0 D．2x－y－2＝0 解析：　∵點A(－3,4)關于x軸的對稱點A1(－3，－4)在經過x軸反射的光線上，同樣點A1(－3，－4)關于y軸的對稱點A2(3，－4)在經過y軸反射的光線上，∴kA2B＝＝－2.故所求直線的方程為y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0，故選A. 答案：　A 4．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是(　　) A．內切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：　圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化為：x2＋(y－a)2＝a2，由題意，d＝，所以有，a2＝＋2，解得a＝2.所以圓M：x2＋(y－2)2＝22，圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，所以二者相交． 答案：　B 5．(2018全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：　設圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2,0)，r＝，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知條件可得AB＝2，所以△ABP面積的最大值為ABdmax＝6，△ABP面積的最小值為ABdmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]．故選A. 答案：　A 6．(2018全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：　由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4. ∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2. 圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝2. 答案：　2 7．已知直線l1過點(－2,0)且傾斜角為30，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標為________． 解析：　直線l1的斜率k1＝tan 30＝，因為直線l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2＝－＝－，所以直線l1的方程為y＝(x＋2)，直線l2的方程為y＝－(x－2)，聯立直線l1與l2，得得即直線l1與直線l2的交點坐標為(1，)． 答案：　(1，) 8．過點C(3,4)作圓x2＋y2＝5的兩條切線，切點分別為A，B，則點C到直線AB的距離為________． 解析：　以OC為直徑的圓的方程為2＋(y－2)2＝2，AB為圓C與圓O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程為x2＋y2－＝5－，化為3x＋4y－5＝0，C到AB的距離為d＝＝4. 答案：　4 9．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分別滿足下列條件的a，b的值． (1)直線l1過點(－3，－1)，并且直線l1與l2垂直； (2)直線l1與直線l2平行，并且坐標原點到l1，l2的距離相等． 解析：　(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)1＝0，即a2－a－b＝0.① 又點(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②得，a＝2，b＝2. (2)由題意知當a＝0或b＝0時不成立． ∵l1∥l2，∴＝1－a，∴b＝， 故l1和l2的方程可分別表示為 (a－1)x＋y＋＝0，(a－1)x＋y＋＝0， 又原點到l1與l2的距離相等， ∴4＝， ∴a＝2或a＝， ∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 10．已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程； (2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程． 解析：　(1)如圖所示， |AB|＝4， 將圓C方程化為標準方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝16， 所以圓C的圓心坐標為(－2,6)，半徑r＝4， 設D是線段AB的中點，則CD⊥AB， 所以|AD|＝2，|AC|＝4.C點坐標為(－2,6)． 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 若直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由點C到直線AB的距離公式：＝2，得k＝. 故直線l的方程為3x－4y＋20＝0. 直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0. 所以所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)設過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)， 則CD⊥PD，即＝0， 所以(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0， 化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. B級 1．(2018貴陽市適應性考試(一))已知直線l：ax－3y＋12＝0與圓M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B兩點，且∠AMB＝，則實數a＝________. 解析：　直線l的方程可變形為y＝ax＋4，所以直線l過定點(0,4)，且該點在圓M上．圓的方程可變形為x2＋(y－2)2＝4，所以圓心為M(0,2)，半徑為2.如圖，因為∠AMB＝，所以△AMB是等邊三角形，且邊長為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以＝，解得a＝. 答案：　 2．(2018貴陽市摸底考試)過點M(2,2)的直線l與坐標軸的正方向分別相交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的標準方程是________________． 解析：　法一：設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1.又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨設A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則將O，A，B的坐標分別代入得解得所以△OAB外接圓的方程為x2＋y2－4x－4y＝0，標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8. 法二：設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1.又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點，則△OAB外接圓的圓心是點M(2,2)，半徑|OM|＝2，所以△OAB外接圓的標準方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8. 答案：　(x－2)2＋(y－2)2＝8 3．已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設Q為圓C上的一個動點，求的最小值． 解析：　(1)設圓心C(a，b)，則 解得 則圓C的方程為x2＋y2＝r2， 將點P的坐標代入得r2＝2， 故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設Q(x，y)，則x2＋y2＝2， 且＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， 令x＝cos θ，y＝sin θ， 則＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin－2. 所以的最小值為－4. 4．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線4x＋3y－29＝0相切． (1)設直線ax－y＋5＝0與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍； (2)在(1)的條件下，是否存在實數a，使得過點P(－2,4)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由． 解析：　(1)設圓心為M(m,0)(m∈Z)． ∵圓與直線4x＋3y－29＝0相切，且圓的半徑為5， ∴＝5，即|4m－29|＝25. ∵m為整數，∴m＝1. ∴圓的方程是(x－1)2＋y2＝25. 將ax－y＋5＝0變形為y＝ax＋5， 并將其代入圓的方程，消去y并整理， 得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0. 由于直線ax－y＋5＝0交圓于A，B兩點， 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0，即12a2－5a>0， 解得a<0或a>. ∴實數a的取值范圍是(－∞，0)∪. (2)設符合條件的實數a存在． 由(1)得a≠0，則直線l的斜率為－. ∴直線l的方程為y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0. ∴直線l垂直平分弦AB，∴圓心M(1,0)必在直線l上． ∴1＋0＋2－4a＝0，解得a＝. ∵∈， ∴存在實數a＝，使得過點P的直線l垂直平分弦AB.