第二章 概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進一步理解隨機變量及其概率分布的概念，了解概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能夠進行簡單的應(yīng)用.3.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ图岸椃植?，并能解決一些簡單的實際問題.4.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，能計算簡單的離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單的實際問題1事件概率的求法(1)條件概率的求法利用定義分別求出P(B)和P(AB)，解得P(A|B).借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件數(shù)n，再在事件B發(fā)生的條件下求事件A包含的基本事件數(shù)m，得P(A|B).(2)相互獨立事件的概率若事件A，B相互獨立，則P(AB)P(A)P(B)(3)n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n，q1p.2隨機變量的分布列(1)求離散型隨機變量的概率分布的步驟明確隨機變量X取哪些值；計算隨機變量X取每一個值時的概率；將結(jié)果用二維表格形式給出計算概率時注意結(jié)合排列與組合知識(2)兩種常見的分布列超幾何分布若一個隨機變量X的分布列為P(Xr)，其中r0,1,2,3，l，lmin(n，M)，則稱X服從超幾何分布二項分布若隨機變量X的分布列為P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作XB(n，p)3離散型隨機變量的均值與方差(1)若離散型隨機變量X的概率分布如下表：Xx1x2xnPp1p2pn則E(X)x1p1x2p2xnpn，令E(X)，則V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn.(2)當(dāng)XH(n，M，N)時，E(X)，V(X).(3)當(dāng)XB(n，p)時，E(X)np，V(X)np(1p)類型一條件概率的求法例1口袋中有2個白球和4個紅球，現(xiàn)從中隨機不放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個，則：(1)第一次取出的是紅球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是紅球的概率是多少？(3)在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率是多少？反思與感悟條件概率是學(xué)習(xí)相互獨立事件的前提和基礎(chǔ)，計算條件概率時，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率一般地，計算條件概率常有兩種方法(1)P(B|A).(2)P(B|A).在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時發(fā)生的基本事件個數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個數(shù)跟蹤訓(xùn)練1擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點，問“擲出點數(shù)之和大于或等于10”的概率類型二互斥、對立、獨立事件的概率例2某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元求該企業(yè)可獲利潤的概率分布和均值反思與感悟在求解此類問題中，主要運用對立事件、獨立事件的概率公式(1)P(A)1P()(2)若事件A，B相互獨立，則P(AB)P(A)P(B)(3)若事件A，B是互斥事件，則P(AB)P(A)P(B)跟蹤訓(xùn)練2紅隊隊員甲，乙，丙與藍隊隊員A，B，C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求P(1)類型三離散型隨機變量的概率分布、均值和方差例3一次同時投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個數(shù)字)，(1)設(shè)隨機變量表示一次擲得的點數(shù)和，求的概率分布；(2)若連續(xù)投擲10次，設(shè)隨機變量表示一次擲得的點數(shù)和大于5的次數(shù)，求E()，V()反思與感悟求離散型隨機變量的均值與方差的步驟跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對方得1分，求乙隊得分X的概率分布及均值類型四概率的實際應(yīng)用例4某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個問題回答正確得20分，回答不正確得10分如果一個挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是0.8，回答第三個問題正確的概率為0.6，且各題回答正確與否相互之間沒有影響(1)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的概率分布和均值；(2)求這位挑戰(zhàn)者總得分不為負分(即0)的概率反思與感悟解需要分類討論的問題的實質(zhì)是：整體問題轉(zhuǎn)化為部分問題來解決轉(zhuǎn)化成部分問題后增加了題設(shè)條件，易于解題，這也是解決需要分類討論問題的總的指導(dǎo)思想跟蹤訓(xùn)練4某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)，B肯定是受A感染，對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量寫出X的概率分布1拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過4，則出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率為_2在5道題中有3道理科題和2道文科題事件A為“取到的2道題中至少有一道理科題”，事件B為“取到的2道題中一題為理科題，另一題為文科題”，則P(B|A)_.3設(shè)隨機變量的分布列為P(k)C()k()nk，k0,1,2，n，且E()24，則V()的值為_4設(shè)X為隨機變量，XB(n，)，若X的方差為V(X)，則P(X2)_.5盒子中有5個球，其中3個白球，2個黑球，從中任取兩個球，求取出白球的均值和方差1條件概率的兩個求解策略(1)定義法：計算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)求解(2)縮小樣本空間法：利用P(B|A)求解其中(2)常用于古典概型的概率計算問題2求相互獨立事件同時發(fā)生的概率需注意的三個問題(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨立的充要條件，也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系(3)公式“P(AB)1P( )”常應(yīng)用于求相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率3求解實際問題的均值與方差的解題思路：先要將實際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機變量的概率分布，同時要注意運用兩點分布、二項分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì)答案精析題型探究例1解記事件A：第一次取出的球是紅球；事件B：第二次取出的球是紅球(1)從口袋中隨機不放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個，所有基本事件共65個；第一次取出的球是紅球，第二次是其余5個球中的任一個，符合條件的事件有45個，所以P(A).(2)從口袋中隨機不放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個，所有基本事件共65個；第一次和第二次都取出的球是紅球，相當(dāng)于取兩個球，都是紅球，符合條件的事件有43個，所以P(AB).(3)利用條件概率的計算公式，可得P(B|A).跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)“擲出點數(shù)之和大于或等于10”為事件A，“第一顆骰子擲出6點”為事件B.方法一P(A|B).方法二“第一顆骰子擲出6點”的情況有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種，n(B)6.“擲出點數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆骰子擲出6點”的情況有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3種，即n(AB)3.P(A|B).例2解記E甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功由題設(shè)知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E與F，E與，與F，與都相互獨立(1)記H至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，則 ，于是P()P()P()，故所求的概率為P(H)1P()1.(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.因為P(X0)P( )，P(X100)P( F)，P(X120)P(E )，P(X220)P(E F)，故所求的概率分布如下表：X0100120220PE(X)0100120220140.跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因為P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5.由對立事件的概率公式知，P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由題意知，的可能取值為0,1,2,3.P(0)P( )0.40.50.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，所以P(1)P(0)P(1)0.45.例3解(1)由已知，隨機變量的取值為2,3,4,5,6.設(shè)擲一個正方體骰子所得點數(shù)為0，P(01)，P(02)，P(03)，所以P(2)，P(3)2，P(4)2，P(5)2，P(6).故的概率分布為23456P(2)由已知，滿足條件的一次投擲的點數(shù)和取值為6，設(shè)某次發(fā)生的概率為p，由(1)知，p.因為隨機變量B，所以E()np10，V()np(1p)10.跟蹤訓(xùn)練3解(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意知各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)()3，P(A2)C()2(1)，P(A3)C()2(1)2.所以，甲隊以30,31,32勝利的概率分別是，.(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件A4，由題意知各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(A4)C(1)2()2(1).由題意知，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性，得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2).故X的概率分布為X0123P所以E(X)0123.例4解(1)三個問題均答錯，得00(10)10(分)三個問題均答對，得10102040(分)三個問題一對兩錯，包括兩種情況：前兩個問題一對一錯，第三個問題錯，得100(10)0(分)；前兩個問題錯，第三個問題對，得002020(分)三個問題兩對一錯，也包括兩種情況：前兩個問題對，第三個問題錯，得1010(10)10(分)；第三個問題對，前兩個問題一對一錯，得2010030(分)故的可能取值為10,0,10,20,30,40.P(10)0.20.20.40.016，P(0)C0.20.80.40.128，P(10)0.80.80.40.256，P(20)0.20.20.60.024，P(30)C0.80.20.60.192，P(40)0.80.80.60.384.所以的概率分布為10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384所以E()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424.(2)這位挑戰(zhàn)者總得分不為負分的概率為P(0)1P(<0)10.0160.984.跟蹤訓(xùn)練4解(1)A直接感染一個人有2種情況：分別是ABCD和AB，概率是；(2)A直接感染二個人有3種情況：分別是A，A，A，概率是；(3)A直接感染三個人只有一種情況：ABDC，概率是.隨機變量X的概率分布是X123P當(dāng)堂訓(xùn)練1.2.3.84.5解取出的白球個數(shù)可能取值為0,1,2.0時表示取出的兩個球都為黑球，即P(0).1表示取出的兩個球中一個黑球，一個白球，即P(1).2表示取出的兩個球均為白球，即P(2).于是E()0121.2，V()(01.2)2(11.2)2(21.2)20.36.