2.3.1直線與平面垂直的判定【選題明細(xì)表】 知識點、方法題號線面垂直的定義及判定定理的理解1,2,3,5,6線面垂直的判定及證明4,8直線與平面所成的角7,9綜合問題10,11基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)l,m是兩條不同的直線, 是一個平面,則下列命題正確的是(A)(A)若l,lm,則m(B)若l,m,則lm(C)若lm,m,則l(D)若l,m,則lm解析:易知A正確.B.l與m可能異面,也可能平行.C.當(dāng)l與內(nèi)兩條相交直線垂直時,才能判定l,D.l與m可能平行、異面或相交.2.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對角線AC,BD的關(guān)系是(C)(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交(D)不垂直也不相交解析:取BD的中點O,連接AO,CO,則BDAO,BDCO,所以BD平面AOC,BDAC,又BD,AC異面,故選C.3.(2018云南玉溪中學(xué)高一測試)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則直線l和平面的位置關(guān)系是(D)(A)垂直 (B)平行(C)l在內(nèi)(D)無法確定解析:當(dāng)l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,若這無數(shù)條直線互相平行,則l可能在內(nèi),也可能與平面平行,相交,故選D.4.(2018陜西西安高一期末)已知P為ABC所在平面外一點,PAPB,PBPC,PCPA,PH平面 ABC,垂足H,則H為ABC的(B)(A)重心(B)垂心(C)外心(D)內(nèi)心解析:連接AH并延長,交BC于D,連接BH并延長,交AC于E;因為PAPB,PAPC,故PA平面PBC,故PABC;因為PH平面ABC,故PHBC,故BC平面PAH,故AHBC;同理BHAC;故H是ABC的垂心.5.下列說法中錯誤的是(D)如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直,該直線與這個平面必相交;如果一條直線和平面的一條平行線垂直,該直線必在這個平面內(nèi);如果一條直線和平面的一條垂線垂直,該直線必定在這個平面內(nèi);如果一條直線和一個平面垂直,該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線.(A)(B)(C)(D)解析:由線面垂直的判定定理可得錯誤,正確.故選D.6.(2018南昌調(diào)研)若,是兩個相交平面,則在下列命題中,真命題的序號為.(寫出所有真命題的序號)若直線m,則在平面內(nèi),一定不存在與直線m平行的直線;若直線m,則在平面內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直;若直線m,則在平面內(nèi),不一定存在與直線m垂直的直線;若直線m,則在平面內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線.解析:對于,若直線m,如果,互相垂直,則在平面內(nèi),存在與直線m平行的直線,故錯誤;對于,若直線m,則直線m垂直于平面內(nèi)的所有直線,則在平面內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直,故正確;對于,若直線m,則在平面內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線,故錯誤,正確.答案:7.如圖所示,ACB=90,平面ABC外有一點P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于點F,E,且PF=PE=23 cm,那么PC與平面ABC所成角的大小為.解析:過P作PO垂直于平面ABC于O,連接CO,則CO為ACB的平分線.連接OF,可證明CFO為直角三角形,CO=22,RtPCO中,cosPCO=22,PCO=45.答案:458.如圖,已知ABC中,ACB=90,SA平面ABC,ADSC于D,求證:AD平面SBC.證明:因為ACB=90,所以BCAC.又SA平面ABC,所以SABC.又ACSA=A,所以BC平面SAC.因為AD平面SAC,所以BCAD.又SCAD,SCBC=C,所以AD平面SBC.能力提升9.(2018寧夏銀川高一期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是等邊三角形,側(cè)棱與底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為(A)(A)64(B)34(C)62(D)72解析:如圖,分別取C1A1,CA的中點E,F,連接B1E與BF,則B1E平面CAA1C1,過D作DHB1E,則DH平面CAA1C1,連接AH,則DAH為AD與平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=32,DA=2,所以sinDAH=DHDA=64.10.如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD底面ABCD,給出下列結(jié)論:ACSB;AB平面SCD;SA與平面ABD所成的角等于SC與平面ABD所成的角;ACSO.正確結(jié)論的序號是.解析:連接SO,如圖所示,因為四棱錐S-ABCD的底面為正方形,所以ACBD.因為SD底面ABCD,所以SDAC,因為SDBD=D,所以AC平面SBD,因為SB平面SBD,所以ACSB,則正確;因為ABCD,AB平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD,則正確;因為SD底面ABCD,所以SAD和SCD分別是SA與平面ABD所成的角、SC與平面ABD所成的角,因為AD=CD,SD=SD,所以SAD=SCD,則正確;因為AC平面SBD,SO平面SBD,所以ACSO,則正確.答案:教師備用:側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-ABC滿足BAC=90,AB=AC=12AA=2,點M,N分別為AB,BC的中點.(1) 求證:MN平面AACC;(2) 求證:AN平面BCN;(3) 求三棱錐C-MNB的體積.(1)證明:如圖,連接AB,AC,因為四邊形ABBA為矩形,M為AB的中點,所以AB與AB交于點M,且M為AB的中點,又點N為BC的中點,所以MNAC,又MN平面AACC,且AC平面AACC,所以MN平面AACC.(2)證明:因為AB=AC=2,點N為BC的中點,所以ANBC.又BB平面ABC,所以ANBB,所以AN平面BCN.(3)解:由圖可知VCMNB=VMBCN,因為BAC=90,所以BC=AB2+AC2=22,SBCN=12224=42.由(2)及BAC=90可得AN=2,因為M為AB的中點,所以M到平面BCN的距離為22,所以VCMNB=VMBCN=134222=43.探究創(chuàng)新11.如圖(1),在RtABC中,C=90,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點.將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如圖(2).(1)求證:DE平面A1CB;(2)求證:A1FBE;(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C平面DEQ?說明理由.(1)證明:因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DEBC.又因為DE平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE平面A1CB.(2)證明:由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因為A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.(3)解:線段A1B上存在點Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQBC.又因為DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知,DE平面A1DC,所以DEA1C.又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點,所以A1CDP.所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點Q,使得A1C平面DEQ.