二 一般形式的柯西不等式課時(shí)作業(yè)A組基礎(chǔ)鞏固1已知x2y2z21，則x2y2z的最大值為()A1B2C3 D4解析：由柯西不等式得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，所以3x2y2z3.當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，等號(hào)成立所以x2y2z的最大值為3.答案：C2n個(gè)正數(shù)的和與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是()A1 BnCn2 D解析：設(shè)n個(gè)正數(shù)為x1，x2，xn，由柯西不等式，得(x1x2xn)2(111)2n2.當(dāng)且僅當(dāng)x1x2xn時(shí)取等號(hào)答案：C3設(shè)a、b、c為正數(shù)，則(abc)()的最小值為()A11 B121C49 D7解析：(abc)2121.答案：B4設(shè)a，b，c均為正數(shù)且abc9，則的最小值為()A81 B9C7 D49解析：考慮以下兩組向量：u，v(，)由(uv)2|u|2|v|2得2(abc)，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b3，c4時(shí)取等號(hào)，可得9(234)281，所以9.答案：B5設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)1，2，n滿足12n1，則yn的最小值為()A. BC. D解析：為了利用柯西不等式，注意到(21)(22)(2n)2n(12n)2n1，所以(2n1)(21)(22)(2n)2n2，所以yn，yn.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)12n時(shí)成立，從而y有最小值.答案：A6同時(shí)滿足2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82的實(shí)數(shù)x、y、z的值分別為_，_，_.解析：可令x12x，x23y3，x3z2，則x1x2x318且xxx108，由此及柯西不等式得182(x1x2x3)2(xxx)(121212)1083，上式等號(hào)成立的充要條件是x1x2x36x3，y1，z4.所以3,1,4是所求實(shí)數(shù)x，y，z的值答案：3147已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足abcde8，a2b2c2d2e216，則e的取值范圍為_解析：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee2.5e216e0，故0e.答案：8設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，則_.解析：由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取等號(hào)由k2(x2y2z2)22536，解得k.所以k.答案：9已知x，y，zR，且x2y3z4，求x2y2z2的最小值解析：由柯西不等式，得x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即1614(x2y2z2)所以x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x，即當(dāng)x，y，z時(shí)，x2y2z2的最小值為.10在ABC中，設(shè)其各邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R，求證：(a2b2c2)36R2.證明：由正弦定理知2R，(a2b2c2)236R2.B組能力提升1已知x，y，zR，且xyz1，則x2y2z2的最小值是()A1 BC. D2解析：根據(jù)柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.答案：B2若2a>b>0，則a的最小值為()A1 B3C8 D12解析：2a>b>0，2ab>0.a(2ab)b3 3.當(dāng)且僅當(dāng)2abb，即ab2時(shí)等號(hào)成立當(dāng)ab2時(shí)，a有最小值3.答案：B3若a，b，c為正數(shù)，則的最小值為_解析：由柯西不等式可知，()()( )2329.答案：94已知x，y，zR，且xyz1，則的最小值為_解析：利用柯西不等式由于(xyz)236，所以36.當(dāng)且僅當(dāng)x2y2z2，即x，y，z時(shí)，等號(hào)成立的最小值為36.答案：365已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍解析：(1 1 1 )(121212)()，故的取值范圍是，)6已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.解析：(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，所以f(x2)0等價(jià)于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()()29.