一 平行線等分線段定理一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如圖所示，已知BCa cm，且ADEFBC，AEEOOC，則AD等于()A.a cm B.2a cmC.3a cm D. cm解析EFAD，AEEO，F(xiàn)是OD的中點(diǎn)，EF是OAD的中位線，AD2EF，又EFBC，EOOC，OEFOCB，EFBC，AD2a.答案B2.如圖所示，在ABC中，BD為AC邊上的中線，DEAB交BC于E，則陰影部分面積為ABC面積的()A. B.C. D.解析DEAB，D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，SBDESEDC.SBDESBDCSABC.答案A3.如圖所示，若abc，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.由ABBC可得FGGHB.由ABBC可得OBOGC.由CE2CD可得CA2BCD.由GHFH可得CDDE解析OB，OG不是一條直線被一組平行線截得的線段，故不正確.答案B4.如圖所示，在ABC中，E為AB的中點(diǎn)，AHBC于H，EFBC于F，若HCBH，則FC_BF.解析AHBC，EFBC，EFAH，又AEEB，BFFH，HCBHBF，F(xiàn)CFHHCBF.答案5.如圖所示，在ABC中，ABAC，ADBC于D，M是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CM，交AB于P，DNCP交AB于N，若AB6 cm，則AP_；若PM1 cm，則PC_.解析由ADBC，ABAC知BDCD，又DNCP，BNNP.又AMMD，PMDN，知APPN，APAB2(cm)，易知PMDN，DNPC，PC4PM4(cm).答案2 cm4 cm6.如圖，在ABC中，CD平分ACB，AECD于E，EFBC交AB于F.求證：AFBF.證明如圖，延長(zhǎng)AE交BC于M.CD是ACB的角平分線，AECD，可證AECMEC，AEEM，又在ABM中，EFBF，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AFBF.二、能力提升7.如圖，在等腰梯形ABCD中，CDAB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，且ACBC，若AD5，EF6，則CF的長(zhǎng)為()A.6.5 B.6 C.5 D.4解析連接BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn).EF綊BD，又EF6，BD12，梯形ABCD是等腰梯形，ACBD12，BCAD5，又ACBC，AB13，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，CFAB6.5.答案A8.某梯形的中位線長(zhǎng)10 cm，一條對(duì)角線將中位線分成的兩部分之差是3 cm，則該梯形中的較大的底邊等于_cm.解析由已知中位線被BD分成的較長(zhǎng)的一部分GF，又EFBC，且F為DC的中點(diǎn)，G為BD的中點(diǎn)，在DBC中，GFBC，較大的底邊BC長(zhǎng)為13.答案139.如圖所示，ADEGFHBC，E，F(xiàn)三等分AB，G，H在DC上，AD4，BC13，則EG_，F(xiàn)H_.解析由梯形中位線定理知：2EGADFH，2FHEGBC，又由已知AD4，BC13，可解得EG7，F(xiàn)H10.答案71010.如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，DCBC，B60，ABBC，E為AB的中點(diǎn).求證：ECD為等邊三角形.證明如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EF平行于AD交DC于點(diǎn)F.ADBC，ADEFBC.又E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)(經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底邊平行的直線平分另一腰).DCBC，EFDC.EDEC(線段垂直分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等).EDC為等腰三角形.ABBC，B60，ABC是等邊三角形.ACB60.又E是AB邊的中點(diǎn)，CE平分ACB.FECECB30.DEF30.DEC60.又EDEC，ECD為等邊三角形.11.如圖所示，AEBFCGDH，ABBCCD，AE12，DH16，AH交BF于M，求BM與CG的長(zhǎng).解如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，作PQDH交EH于Q，則PQ是梯形ADHE的中位線.AEBFCGDH，ABBCCD，AE12，DH16，BM4.由于PQ為梯形ADHE的中位線，故PQ(AEDH)(1216)14.同理，CG(PQDH)(1416)15.三、探究與創(chuàng)新12.有人玩折紙游戲，他先把一張矩形紙ABCD按如圖(1)所示對(duì)折，設(shè)折痕為MN.如圖(2)所示，再沿AE折疊矩形一部分，使B落在折痕MN上，AE與MN交于P，得到RtABE，延長(zhǎng)EB交AD于F，得到AEF，他認(rèn)為AEF是一個(gè)等邊三角形，他的觀點(diǎn)是否正確？試說(shuō)明理由.解他的觀點(diǎn)是正確的.理由如下：由題意和題中圖示可知N是梯形ADCE的腰CD的中點(diǎn)，NPAD，P為EA的中點(diǎn).又ABE為直角三角形，BPPA，PABPBA.又PBAD，PBABAF，PABBAF.PAB與和它重合的角相等，2PABBAF90，即PABBAF30.AEB903060，EAFPABBAF60.AEF是等邊三角形.