二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例1利用數(shù)學歸納法證明不等式在不等關系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學歸納法是常用的方法之一在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由nk成立，推導nk1成立時，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結合進行2歸納猜想證明的思想方法 數(shù)學歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納猜想證明”這一基本思想方法中一方面可用數(shù)學歸納法證明已有的與自然數(shù)有關的結論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結論、規(guī)律并用數(shù)學歸納法證明其正確性，形成“觀察歸納猜想證明”的思想方法利用數(shù)學歸納法證明不等式例1證明不等式12(nN)思路點撥證明(1)當n1時，左邊1，右邊2，不等式成立(2)假設當nk(kN，k1)時不等式成立，即12，則當nk1時，左邊12，現(xiàn)在只需證明2成立，即證22k1成立，兩邊平方并整理，得01，顯然成立，所以2成立即12成立所以當nk1時，不等式成立由(1)(2)可知，對于任意正整數(shù)n，原不等式都成立數(shù)學歸納法證明不等式的技巧(1)證明不等式時，由nk到nk1時的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關系，需要我們在證明時，對原式進行“放大”或者“縮小”才能使用到nk時的假設，所以需要認真分析，適當放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一(2)數(shù)學歸納法的應用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程1設Sn是數(shù)列的前n項和，當n2時，比較S2n與的大小，并予以證明解：由S221，S231S22，猜想：S2n(n2)下面用數(shù)學歸納法證明(1)當n2時，上面已證不等式成立(2)假設當nk(kN，k2)時，有S2k，則當nk1時，S2k1S2k，即當nk1時，不等式也成立結合(1)(2)可知，S2n(n2，nN)成立2用數(shù)學歸納法證明：1<2(n2，nN)證明：(1)當n2時，1<2，不等式成立(2)假設當nk(k2，kN)時不等式成立，即1<2，當nk1時，1<2<222，所以當nk1時，不等式成立由(1)(2)知原不等式在n2，nN時均成立3設Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明解：(1)當n1,2時，PnQn.(2)當n3時，(以下再對x進行分類)若x(0，)，顯然有Pn>Qn.若x0，則PnQn.若x(1,0)，則P3Q3x3<0，所以P3<Q3.P4Q44x3x4x3(4x)<0，所以P4<Q4.假設Pk<Qk(k3)，則Pk1(1x)Pk<(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3<Qk1，即當nk1時，不等式成立所以當n3，且x(1,0)時，Pn<Qn.歸納猜想證明例2設a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的結論解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN)(2)證明：易知，n1時，猜想正確假設nk(k1，kN)時猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，nk1時猜想正確由知，對于任何nN，都有an.利用數(shù)學歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察歸納猜想證明即先通過觀察部分項的特點進行歸納，判斷并猜想出一般結論，然后用數(shù)學歸納法進行證明4在數(shù)列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜測an，bn的通項公式；(2)證明你的結論解：(1)由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測ann(n1)，bn(n1)2.(2)用數(shù)學歸納法證明：當n1時，由上知結論成立假設當nk時，結論成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么當nk1時，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.所以當nk1時， 結論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對一切正整數(shù)都成立5判斷是否存在一組常數(shù)a，b，c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN都成立，若存在，求出a，b，c的一組值并證明；若不存在，試說明理由解：假設存在a，b，c使122232n2(n1)22212an(bn2c)，對于一切nN都成立當n1時，a(bc)1；當n2時，2a(4bc)6；當n3時，3a(9bc)19.由方程組可解得證明如下：當n1時，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立假設nk(kN)時等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；當nk1時，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1時，等式成立因此存在a，b2，c1使等式對一切nN都成立1下列四個判斷中，正確的是()A式子1kk2kn(nN)，當n1時恒為1B式子1kk2kn1(nN)，當n1時恒為1kC式子1(nN)，當n1時恒為1D設f(n)(nN)，則f(k1)f(k)解析：選C選項A中，n1時，式子應為1k；選項B中，n1時，式子應為1；選項D中，f(k1)f(k).2用數(shù)學歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()A2B3C5 D6解析：選C令n0分別取2,3,4,5,6，依次驗證即得3某個命題與正整數(shù)n有關，若nk(kN)時該命題成立，那么可推得當nk1時該命題也成立現(xiàn)已知當n5時該命題不成立，那么可推得()A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立解析：選C如果n4時命題成立，那么由題設，n5時命題也成立上面的判斷作為一個命題，那么它的逆否命題是如果n5時命題不成立，那么n4時命題也不成立原命題成立，它的逆否命題一定成立4設n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，觀察上述記錄，可推測出一般結論()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不對解析：選Cf(2)，f(4)f(22)2，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，所以f(2n).5證明<1<n1(n>1)，當n2時，要證明的式子為_解析：當n2時，要證明的式子為2<1<3.答案：2<1<36用數(shù)學歸納法證明.假設nk時不等式成立，則當nk1時，應推證的目標不等式是_解析：假設nk時，不等式成立，即，則當nk1時，左邊，下面只需證明即可答案：7已知f(n)1(nN)，用數(shù)學歸納法證明f(2n)>時，f(2k1)f(2k)_.解析：f(2k1)1，f(2k)1，所以f(2k1)f(2k).答案：8用數(shù)學歸納法證明，對任意nN，有(12n)n2.證明：(1)當n1時，左邊右邊，不等式成立當n2時，左邊(12)>22，不等式成立(2)假設當nk(k2)時不等式成立，即(12k)k2.則當nk1時，有左邊(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當k2時，11，(*)左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說當nk1時，不等成立由(1)(2)可知當n1時，不等式成立9已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn1，且an0，nN.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項公式；(2)證明通項公式的正確性解：(1)當n1時，由已知得a11，即a2a120.a11(a10)當n2時，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN)(2)證明：由(1)知，當n1時，通項公式成立假設當nk(kN)時，通項公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，將ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1時通項公式成立由可知對所有nN，an都成立10設數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3.(1)當a12時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；(2)當a3時，證明對所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一個通項公式：ann1(n1)(2)證明：用數(shù)學歸納法證明當n1，a1312，不等式成立假設當nk時不等式成立，即akk2，那么，當nk1時ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是說，當nk1時，ak1(k1)2.根據(jù)和，對于所有n1，有ann2.