4.1.2 利用二分法求方程的近似解(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標(biāo)一、選擇題 1. 用“二分法”可求近似解，對于精度說法正確的是()A越大，零點的精度越高B越大，零點的精度越低C重復(fù)計算次數(shù)就是D重復(fù)計算次數(shù)與無關(guān)【解析】依“二分法”的具體步驟可知，越大，零點的精度越低【答案】B 2. 在用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值時，第一次取的區(qū)間是2,4，則第三次所取的區(qū)間可能是()A1,4B2,1C2,2.5 D0.5,1【解析】因第一次所取的區(qū)間是2,4，所以第二次的區(qū)間可能是2,1，1,4；第三次所取的區(qū)間可能為2，0.5，0.5,1，1,2.5，2.5,4，只有選項D在其中，故選D.【答案】D 3. 設(shè)f(x)lg xx3，用二分法求方程lg xx30在(2,3)內(nèi)近似解的過程中得f(2.25)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，則方程的根落在區(qū)間()A(2,2.25) B(2.25,2.5)C(2.5,2.75) D(2.75,3)【解析】由二分法的步驟知方程的根落在區(qū)間(2.5,2.75)內(nèi)【答案】C 4. 為了求函數(shù)f(x)2x3x7的一個零點，某同學(xué)利用計算器得到自變量x和函數(shù)f(x)的部分對應(yīng)值，如下表所示：x1.251.312 51.3751.437 51.51.562 5f(x)0.871 60.578 80.281 30.210 10.328 430.641 15則方程2x3x7的近似解(精確到0.1)可取為()A1.32 B1.39C1.4 D1.3【解析】由f(1.375)f(1.4375)0，可知方程2x3x7的近似解可取1.4.故選C.【答案】C 5. 已知f(x)ln x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0，若用二分法求x0的近似值(精度為0.2)，則需要將區(qū)間等分的次數(shù)為()A3 B4C5 D6【解析】由用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟可知分一次，f0，區(qū)間長度0.50.2，分二次，f0，區(qū)間長度0.250.2，分三次，f0，區(qū)間長度0.2，所以分三次可以使x0的近似值達到精度為0.2.故選A.【答案】A二、填空題 6. 在用二分法求方程exx20的一個近似解時，現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為_【解析】令f(x)exx2，f(0)1<0，f(1)e1>0，f>0.下一個區(qū)間為.【答案】 7. 若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值(或近似值)用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一個近似根(精確到0.1)為_【解析】由于f(1.438)f(1.406 5)0，結(jié)合二分法的定義得零點應(yīng)該存在于區(qū)間(1.406 5，1.438)中，故方程x3x22x20的一個近似根為1.4.【答案】1.4 8. 用二分法求方程x380在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解經(jīng)過_次“二分”后精度能達到0.01?【解析】設(shè)n次“二分”后精度達到0.01，區(qū)間(2,3)的長度為1，0.01，即2n100.注意到2664100,27128100，故要經(jīng)過7次二分后精度達到0.01.【答案】7三、解答題 9. 用二分法判斷函數(shù)f(x)2x33x1零點的個數(shù)【解】用計算器或計算機作出x，f(x)的對應(yīng)值表(如下表)和圖像(如下圖)：x1.510.500.511.5f(x)1.2522.2510.2503.25由上表和上圖可知，f(1.5)<0，f(1)>0，即f(1.5)f(1)<0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(1.5，1)內(nèi)有零點同理，它在區(qū)間(0,0.5)內(nèi)也有零點另外，f(1)0，所以1也是它的零點，由于函數(shù)f(x)在定義域和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，所以它共有3個零點 10. 證明方程63x2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解(精度為0.1)【解】證明如下：設(shè)函數(shù)f(x)2x3x6，f(1)10，f(2)40，又f(x)是增函數(shù)，函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一的零點，則方程63x2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個實數(shù)解設(shè)該解為x0，則x01,2，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，x0(1,1.5)，取x21.25，f(1.25)0.1280，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)，取x31.125，f(1.125)0.4440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)，取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，1.187 5可作為這個方程的實數(shù)解能力提升 1. 函數(shù)yx與函數(shù)ylg x的圖像的交點的橫坐標(biāo)(精度為0.1)約是()A1.5B1.6 C1.7D1.8【解析】設(shè)f(x)lg xx，經(jīng)計算f(1)<0，f(2)lg 2>0，所以方程lg xx0在1,2內(nèi)有解應(yīng)用二分法逐步縮小方程實數(shù)解所在的區(qū)間，可知選項D符合要求【答案】D 2. 下列函數(shù)中，不適合用二分法求零點的是()Af(x)2x3 Bf(x)ln x2x9Cf(x)x42x3x2 Df(x)2x3【解析】C中令f(x)x42x3x2x2(x1)20.得x0或x1，又f(x)0恒成立，由二分法的定義知不適合用二分法【答案】C 3. 用二分法求方程x22的正實根的近似解(精度為0.001)時，如果選取初始區(qū)間是1.4,1.5，則要達到精確度要求至少需要計算_次【解析】設(shè)至少需要計算n次，則n滿足0.001，即2n100，由于27128，故要達到精確度要求至少需要計算7次【答案】7 4. 在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣(重量稍輕)現(xiàn)在只有一臺天平，請問：用二分法的思想最多稱幾次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣？【解】第一次各13枚稱重，選出較輕一端的13枚，繼續(xù)稱；第二次兩端各6枚，若平衡，則剩下的一枚為假幣，否則選出較輕的6枚繼續(xù)稱；第三次兩端各3枚，選出較輕的3枚繼續(xù)稱；第四次兩端各1枚，若不平衡，可找出假幣；若平衡，則剩余的是假幣最多稱四次