專題41 坐標系與參數(shù)方程一、考綱要求：1.理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程5.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.6.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程二、概念掌握和解題上注意點： 1.極坐標與直角坐標互化公式的三個前提條件(1)取直角坐標系的原點為極點(2)以x軸的非負半軸為極軸(3)兩種坐標系規(guī)定相同的長度單位2.極坐標與直角坐標互化的策略(1）)直角坐標方程化為極坐標方程，只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；(2）)極坐標方程化為直角坐標方程時常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換.3.解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上與動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等.4.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：過定點M0的直線與圓錐曲線相交，交點為M1，M2，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.弦長l|t1t2|；弦M1M2的中點t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|.三、高考考題題例分析例1.（2018全國卷I）在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2+2cos3=0（1）求C2的直角坐標方程；（2）若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程【答案】（1）（x+1）2+y2=4；（2）例2.（2018全國卷II）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）（1）求C和l的直角坐標方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1，2），求l的斜率【答案】（1）：，sinxcosy+2cossin=0； （2）-2【解析】：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：sinxcosy+2cossin=0（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的方程得到： +=1整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t8=0，則：，由于（1，2）為中點坐標，所以：，則：8cos+4sin=0，解得：tan=2，即：直線l的斜率為2 坐標系與參數(shù)方程練習(xí)題1若函數(shù)yf(x)的圖象在伸縮變換：的作用下得到曲線的方程為y3sin，求函數(shù)yf(x)的最小正周期【答案】.【解析】：由題意，把變換公式代入曲線方程y3 sin得3y3 sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期為.2在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積【答案】(1) C1：cos 2，C2：22cos 4sin 40. (2) 法二：直線C3的直角坐標方程為xy0，圓C2的圓心C2(1,2)到直線C3的距離d，圓C2的半徑為1，|MN|2，所以C2MN的面積為.3已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標軸中，曲線C的方程為sin cos20.(1)求曲線C的直線坐標方程；(2)寫出直線l與曲線C交點的一個極坐標【答案】(1) yx20；(2) 4在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0<.在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值. 【答案】(1) (0,0)和；(2)4【解析】：(1)曲線C2的直角坐標方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標方程為x2y22x0，聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.5在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.【答案】(1) 22sin 1a20；(2) a1.【解析】：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當a1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上所以a1.6在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C1的極坐標方程為2 sin ，正方形ABCD的頂點都在C1上，且依次按逆時針方向排列，點A的極坐標為.(1)求點C的直角坐標；(2)若點P在曲線C2：x2y24上運動，求|PB|2|PC|2的取值范圍. 【答案】(1) C(1,1)；(2) 144，144所以|PB|2|PC|2144，144 13在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4cos. (1)求直線l的普通方程和圓心C的直角坐標；(2)求圓C上的點到直線l的距離的最小值【答案】(1) l的普通方程為yx6，圓心C的直角坐標為(，)； (2)2【解析】：(1)由題意得直線l的普通方程為yx6.因為4cos，所以22cos 2sin ，所以圓C的直角坐標方程為x2y22x2y0，即(x)2(y)24，所以圓心C的直角坐標為(，)(2)由(1)知，圓C的半徑為r2，且圓心到直線l的距離d4>2，所以直線l與圓C相離，所以圓C上的點到直線l的距離的最小值為dr422.14在平面直角坐標系中，將曲線C1上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程；(2)過原點O且關(guān)于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點A在第一象限，當四邊形ABCD的周長最大時，求直線l1的普通方程. 【答案】(1) (為參數(shù))；(2) l1的普通方程為yx.【解析】：(1)依題意，可得C1的普通方程為x2y24，由題意可得C2的普通方程為y21，所以C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))15,在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a>0，為參數(shù))以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程cos.(1)若曲線C與l只有一個公共點，求a的值；(2)A，B為曲線C上的兩點，且AOB，求OAB的面積最大值【答案】(1) a1；(2) (2)法一：曲線C的極坐標方程為2acos (a>0)，設(shè)A的極角為，B的極角為，則SOAB|OA|OB|sin|2acos |a2，cos coscos2sin cos sin 2cos，所以當時，cos取得最大值.OAB的面積最大值為.法二：因為曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓，且AOB，由正弦定理得2a，所以|AB|a.由余弦定理得|AB|23a2|OA|2|OB|2|OA|OB|OA|OB|，所以SOAB|OA|OB|sin3a2，所以O(shè)AB的面積最大值為.