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綜合檢測
時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知a，b，c，d∈R，且ab>0，－<－，則下列各式恒成立的是( )
A．bc
ad
C.> D．<
解析：－<－，ab>0兩邊同乘以ab，－bc<－ad，
∴bc>ad，選B.
答案：B
2．不等式|3x－2|>4的解集是( )
A．{x|x>2} B．
C. D．
解析：由|3x－2|>4，得3x－2>4或3x－2<－4.
即x>2或x<－.
答案：C
3．某人要買房，隨著樓層的升高，上、下樓耗費的體力增多，因此不滿意度升高，設(shè)住第n層樓，上下樓造成的不滿意度為n；但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨樓層升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)住第n層樓時，環(huán)境不滿意程度為，則此人應(yīng)選( )
A．1樓 B．2樓
C．3樓 D．4樓
解析：設(shè)第n層總的不滿意程度為f(n)，則f(n)＝n＋≥2＝23＝6，當且僅當n＝，即n＝3時取等號．
答案：C
4．設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù)，S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，那么( )
A．S1>S2 B．S16的解集為( )
A．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：原不等式可化為以下幾種：
①?x<－1；
②??；
③?x>3.
故選B.
答案：B
7．對任意實數(shù)x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，則k的取值范圍是( )
A．k<3 B．k<－3
C．k≤3 D．k≤－3
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
則f(x)min＝－3，∴k<－3.
答案：B
8．函數(shù)y＝＋的最大值為( )
A. B．
C. D．
解析：由已知得函數(shù)定義域為[，2]，
y＝＋≤＝，當且僅當＝，即x＝時取等號．
∴ymax＝.
答案：A
9．設(shè)A＝，B＝＋，則A與B的關(guān)系為( )
A．A>B B．A＋＝＝A.
答案：B
10．若0<α<β<γ<，則F＝sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α－(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)的符號為( )
A．F>0 B．F<0
C．F≥0 D．F≤0
解析：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在(0，)上為增函數(shù)，y＝cos x在(0，)上為減函數(shù)．
∴0cos β>cos γ>0.
根據(jù)排序不等式：亂序和≥反序和，
則sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
答案：A
11．已知a2＋b2＋c2＝9，x2＋y2＋z2＝16，則
的最大值為( )
A．5 B．7
C．9 D．5
解析：
＝
＝，
∵ax＋by＋cz＝
≤＝＝12，
∴原式≤＝＝7，
故最大值為7，選B.
答案：B
12．記滿足下列條件的函數(shù)f(x)的集合為M，當|x1|≤1，|x2|≤1時，|
f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，由g(x)與M的關(guān)系是( )
A．g(x)M B．g(x)∈M
C．g(x)?M D．不能確定
解析：g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，
|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2||x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)
13．設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則的最小值為________．
解析：＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，當且僅當x2y2＝時等號成立．
答案：9
14．關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：∵|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1且|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集為空集，
∴a2＋a＋1<1，∴a2＋a<0.
∴－12時，原不等式為2x－1＋x－22，b>3，求a＋b＋的最小值．
解析：因為a>2，b>3，所以a－2>0，b－3>0，所以a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝3＋5＝8(當且僅當a＝3，b＝4時，等號成立)．
所以所求最小值為8.
19．(12分)已知實數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．
解析：由柯西不等式，(x＋y＋z)2≤[(x)2＋(y)2＋z2]，因為x＋y＋z＝2，所以2x2＋3y2＋z2≥，
當且僅當＝＝，即x＝，y＝，z＝時，等號成立，所以2x2＋3y2＋z2的最小值為.
20．(12分)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：
2(＋＋)≥＋＋.
證明：由對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c＞0.
于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2，
≥≥.
由排序原理知：
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
將上面兩個同向不等式相加，得
2≥＋＋.
21．(13分)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋b10＝100.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項an＝1＋，記Tn是數(shù)列{an}的前n項之積，
即Tn＝a1a2a3…an，試證明：Tn>.
解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，
則，得d＝2，
bn＝2n－1.
(2)an＝1＋＝1＋，
Tn＝a1a2a3…an＝…，
當n＝1時，T1＝1＋＝2>，命題得證．
假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N＋)時命題成立，即…>成立，
當n＝k＋1時，
Tn＋1＝…
>＝.
∵<＝2k＋2，
∴>，
∴Tn＋1＝…
>.
即n＝k＋1時命題成立．
綜上知，當n∈N＋時，Tn>.
22．(13分)某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，圖中所示的山坡可視為直線l，且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tan α＝，試問，此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高)?
解析：如圖建立平面直角坐標系，則A(200,0)，B(0,220)，C(0,300)．直線l的方程為y＝(x－200)tan α，即y＝.
設(shè)點P的坐標為(x，y)，則P(x>200)，由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式，得
kPC＝＝.
kPB＝＝.
由直線PC到直線PB的夾角的公式得(由圖可知kPC，kPB均小于0，即x<640)
tan∠BPC＝＝
＝＝(x>200)．
要使tan∠BPC達到最大，只需x＋－288達到最小，由基本不等式x＋－288≥2－288.
當且僅當x＝時上式取得等號，故當x＝320時，tan∠BPC最大，這時點P的縱坐標y為＝60.
由實際問題知，0<∠BPC<，所以tan∠BPC最大時∠BPC最大．故當此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大．
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