2.2.2 事件的相互獨(dú)立性 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．把標(biāo)有1,2的兩張卡片隨機(jī)地分給甲、乙；把標(biāo)有3,4的兩張卡片隨機(jī)地分給丙、丁，每人一張，事件“甲得1號(hào)紙片”與“丙得4號(hào)紙片”是(　　) A．互斥但非對(duì)立事件　　 B．對(duì)立事件 C．相互獨(dú)立事件 D．以上答案都不對(duì) 解析：相互獨(dú)立的兩個(gè)事件彼此沒有影響，可以同時(shí)發(fā)生，因此它們不可能互斥．故選C. 答案：C 2．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)“兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品”為事件A，因事件相互獨(dú)立，所以P(A)＝＋＝. 答案：B 3．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)是(　　) A. B. C. D. 解析：由P(A)＝P(B)得P(A)P()＝P(B)P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)＝P(B)．又P( )＝， ∴P()＝P()＝. ∴P(A)＝. 答案：D 4．在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)開關(guān)a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮這一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互獨(dú)立，ABC，AB，AC互斥，所以 P(E)＝P(ABC∪AB∪AC) ＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C) ＝＋＋＝. 答案：B 5．甲、乙兩名學(xué)生通過(guò)某種聽力測(cè)試的概率分別為和，兩人同時(shí)參加測(cè)試，其中有且只有一人能通過(guò)的概率是(　　) A. B. C. D．1 解析：設(shè)事件A表示“甲通過(guò)聽力測(cè)試”，事件B表示“乙通過(guò)聽力測(cè)試”． 依題意知，事件A和B相互獨(dú)立，且P(A)＝，P(B)＝. 記“有且只有一人通過(guò)聽力測(cè)試”為事件C，則 C＝(A)∪(B)，且A和B互斥． 故P(C)＝P((A)∪(B))＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝＋＝. 答案：C 6．某條道路的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)平均開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時(shí)，三處都不停車的概率是________． 解析：P＝＝. 答案： 7．某天上午，李明要參加“青年文明號(hào)”活動(dòng)．為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己．假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________． 解析：至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率為1－(1－0.90)(1－0.80)＝1－0.100.20＝0.98. 答案：0.98 8．如圖所示，在兩個(gè)圓盤中，指針落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是________． 解析：左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為＝，右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為，所以兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為＝. 答案： 9．從一副除去大小王的撲克牌(52張)中任取一張，設(shè)事件A為“抽得K”，事件B為“抽得紅牌”，事件A與B是否相互獨(dú)立？是否互斥？是否對(duì)立？為什么？ 解析：由于事件A為“抽得K”，事件B為“抽得紅牌”，故抽到的紅牌中可能抽到紅桃K或方塊K，故事件A與B有可能同時(shí)發(fā)生，顯然它們不是互斥或?qū)α⑹录? 下面判斷它們是否相互獨(dú)立：“抽得K”的概率為P(A)＝＝，“抽得紅牌”的概率為P(B)＝＝，“既是K又是紅牌”的概率為P(AB)＝＝.因?yàn)椋剑訮(AB)＝P(A)P(B)．因此A與B相互獨(dú)立． 10．某班甲、乙、丙三名同學(xué)競(jìng)選班委，甲當(dāng)選的概率為，乙當(dāng)選的概率為，丙當(dāng)選的概率為. (1)求恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率； (2)求至多有兩人當(dāng)選的概率． 解析：設(shè)甲、乙、丙當(dāng)選的事件分別為A、B、C， 則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)易知事件A、B、C相互獨(dú)立， 所以恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率為 P(A)＋P(B)＋P(C) ＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝＋＋＝. (2)至多有兩人當(dāng)選的概率為1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－＝. [B組　能力提升] 1．國(guó)慶節(jié)放假，甲，乙，丙去北京旅游的概率分別為，，.假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：因甲，乙，丙去北京旅游的概率分別為，，.因此，他們不去北京旅游的概率分別為，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率為P＝1－＝. 答案：B 2．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是且從兩個(gè)袋中摸球相互之間不受影響，從兩袋中各摸出一個(gè)球，則等于(　　) A．2個(gè)球不都是紅球的概率 B．2個(gè)球都是紅球的概率 C．至少有1個(gè)紅球的概率 D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率 解析：分別記從甲、乙袋中摸出一個(gè)紅球?yàn)槭录嗀，B，則P (A)＝，P(B)＝，由于A，B相互獨(dú)立，所以1－P()P()＝1－＝.根據(jù)互斥事件可知C正確． 答案：C 3．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球．從每袋中任取一個(gè)球，則取得同色球的概率為________． 解析：設(shè)從甲袋中任取一個(gè)球，事件A為“取得白球”，則事件為“取得紅球”，從乙袋中任取一個(gè)球，事件B為“取得白球”，則事件為“取得紅球”． ∵事件A與B相互獨(dú)立，∴事件與相互獨(dú)立． ∴從每袋中任取一個(gè)球，取得同色球的概率為 P((A∩B)∪(∩))＝P(A∩B)＋P(∩)＝P(A)P(B)＋P()P()＝＋＝. 答案： 4．設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05.甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.則求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別為________，________，________. 解析：記“機(jī)器甲需要照顧”為事件A，“機(jī)器乙需要照顧”為事件B，“機(jī)器丙需要照顧”為事件C，由題意可知A，B，C是相互獨(dú)立事件． 由題意可知 得 所以甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率分別為0.2，0.25，0.5. 答案：0.2　0.25　0.5 5．某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球．根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下： 獎(jiǎng)級(jí) 摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù) 獲獎(jiǎng)金額 一等獎(jiǎng) 3紅1藍(lán) 200元 二等獎(jiǎng) 3紅0藍(lán) 50元 三等獎(jiǎng) 2紅1藍(lán) 10元 其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)． (1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率； (2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列． 解析：設(shè)Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i個(gè)紅球，Bj(j＝0,1)表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則Ai與Bj獨(dú)立． (1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為 P(A1)＝＝. (2)X的所有可能值為：0,10,50,200，且 P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝＝； P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝＝， P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝＝＝， P(X＝0)＝1－－－＝. 綜上可知，獲獎(jiǎng)金額X的分布列為 X 0 10 50 200 P 6.某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案： 方案一：考三門課程至少有兩門及格為考試通過(guò)； 方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò)． 假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別為0.5，0.6,0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響． (1)求該應(yīng)聘者用方案一通過(guò)的概率； (2)求該應(yīng)聘者用方案二通過(guò)的概率． 解析：記“應(yīng)聘者對(duì)三門考試及格”分別為事件A，B，C.則P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9. (1)該應(yīng)聘者用方案一通過(guò)的概率為 P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC) ＝0.50.60.1＋0.50.60.9＋0.50.40.9＋0.50.60.9 ＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75. (2)應(yīng)聘者用方案二通過(guò)的概率為 P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC) ＝(0.50.6＋0.60.9＋0.50.9) ＝1.29＝0.43.