專題檢測（二十二） “圓錐曲線”壓軸大題的搶分策略 1.(2018濟南模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：x2＝4y，直線l與拋物線C1交于A，B兩點． (1)若直線OA，OB的斜率之積為－，證明：直線l過定點； (2)若線段AB的中點M在曲線C2：y＝4－x2(－2＜x＜2)上，求|AB|的最大值． 解：(1)證明：由題意可知直線l的斜率存在， 設直線l的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－4m＝0， Δ＝16(k2＋m)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 則kOAkOB＝＝＝＝－， 由已知kOAkOB＝－，得m＝1，滿足Δ＞0， ∴直線l的方程為y＝kx＋1，∴直線l過定點(0,1)． (2)設M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝＝2k， y0＝kx0＋m＝2k2＋m， 將M(x0，y0)代入y＝4－x2(－2＜x＜2)，得 2k2＋m＝4－(2k)2，∴m＝4－3k2. ∵－2＜x0＜2，∴－2＜2k＜2，∴－＜k＜， ∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0，∴－＜k＜， 故k的取值范圍是(－，)． ∴|AB|＝ ＝ ＝4 ≤4＝6， 當且僅當k2＋1＝2－k2，即k＝時取等號， ∴|AB|的最大值為6. 2．(2018石家莊質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點． (1)若以AF1為直徑的動圓內(nèi)切于圓x2＋y2＝9，求橢圓的長軸的長； (2)當b＝1時，問在x軸上是否存在定點T，使得為定值？并說明理由． 解：(1)設AF1的中點為M，連接OM，AF2(O為坐標原點)， 在△AF1F2中，O為F1F2的中點， 所以|OM|＝|AF2|＝(2a－|AF1|)＝a－|AF1|. 由題意得|OM|＝3－|AF1|， 所以a＝3，故橢圓的長軸的長為6. (2)由b＝1，＝，a2＝b2＋c2，得c＝2，a＝3， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x＋2)， 由得(9k2＋1)x2＋36k2x＋72k2－9＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝k2(x1＋2)(x2＋2)＝. 設T(x0,0)， 則＝(x1－x0，y1)，＝(x2－x0，y2)， ＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x＋y1y2＝， 當9x＋36x0＋71＝9(x－9)，即x0＝－時， 為定值，定值為x－9＝－. 當直線AB的斜率不存在時，不妨設A，B， 當T時，＝＝－. 綜上，在x軸上存在定點T，使得為定值． 3．(2019屆高三西安八校聯(lián)考)已知直線l：x＝my＋1過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點F，拋物線x2＝4y的焦點為橢圓C的上頂點，且l交橢圓C于A，B兩點，點A，F(xiàn)，B在直線x＝4上的射影依次為D，K，E. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點M，且＝λ1， ＝λ2，當m變化時，證明：λ1＋λ2為定值； (3)當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由． 解：(1)∵l：x＝my＋1過橢圓C的右焦點F， ∴右焦點F(1,0)，c＝1，即c2＝1. ∵x2＝4y的焦點(0，)為橢圓C的上頂點， ∴b＝，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明：由題意知m≠0，聯(lián)立 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－. ∵＝ λ1，＝λ2，M， ∴＝λ1(1－x1，－y1)， ＝λ2(1－x2，－y2)， ∴λ1＝－1－，λ2＝－1－， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－. 綜上所述，當m變化時，λ1＋λ2為定值－. (3)當m＝0時，直線l⊥x軸，則四邊形ABED為矩形， 易知AE與BD相交于點N， 猜想當m變化時，直線AE與BD相交于定點N，證明如下： 則＝＝， 易知E(4，y2)，則＝. ∵y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0， ∴∥，即A，N，E三點共線． 同理可得B，N，D三點共線． 則猜想成立， 故當m變化時，直線AE與BD相交于定點N. 4．(2018全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m>0)． (1)證明：k<－； (2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． 解：(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋k＝0. 由題設知＝1，＝m，于是k＝－.① 由題設得0<m<，故k<－. (2)由題意得F(1,0)．設P(x3，y3)， 則(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)． 由(1)及題設得x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 又點P在C上，所以m＝， 從而P，||＝， 于是||＝＝＝2－. 同理||＝2－. 所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3. 故2||＝||＋||， 即||，||，||成等差數(shù)列． 設該數(shù)列的公差為d， 則2|d|＝|||－|||＝|x1－x2| ＝.② 將m＝代入①得k＝－1， 所以l的方程為y＝－x＋， 代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0. 故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d |＝. 所以該數(shù)列的公差為或－.