專題22 簡單線性規(guī)劃一、 考綱要求： 1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決二、概念掌握及解題上的注意點： 1. 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法(1)“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式.若滿足不等式，則不等式表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那一側(cè)區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點異側(cè)的平面區(qū)域.不等式組表示的平面區(qū)域即為各不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.(2)當(dāng)不等式中不等號為或時，邊界為實線，不等號為或時，邊界應(yīng)畫為虛線，若直線不過原點，特殊點常取原點.2.求目標(biāo)函數(shù)最值的解題步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移將直線平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點的位置；最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點處取得.(3)求值解方程組求出對應(yīng)點坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.3.常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如zaxby.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.三、高考考題題例分析： 例1.（2018課標(biāo)卷I） 若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為 【答案】6例2.（2018課標(biāo)卷II）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為【答案】9【解析】：由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=x+y為y=x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=x+z過A時，z取得最大值，由，解得A（5，4），目標(biāo)函數(shù)有最大值，為z=9故答案為：9例3.（2018北京卷）若x，y滿足x+1y2x，則2yx的最小值是【答案】3例4.（2018天津卷）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為（）A6B19C21D45【答案】C例5.（2018浙江卷）若x，y滿足約束條件，則z=x+3y的最小值是，最大值是【答案】最小值-2，最大值8例6.【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】：繪制不等式組表示的可行域，目標(biāo)函數(shù)即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點時直線的截距值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點 處取得最小值 ，故選A。例7.(2017北京卷)若x，y滿足 則x + 2y的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】：如圖，畫出可行域， 表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.例8.(2017課標(biāo)I)設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為 .【答案】【解析】：不等式組表示的可行域如圖所示，簡單線性規(guī)劃練習(xí)一、選擇題1不等式(x2y1)(xy3)0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是()【答案】C【解析】：(x2y1)(xy3)0或畫圖可知選C2在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 () A1B2C4D8【答案】A3.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是 ()ABC2D2【答案】B【解析】：作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點O(0,0)，B(2,0)和A(1，)為頂點的三角形區(qū)域，如圖所示的陰影部分(含邊界)，由圖知該平面區(qū)域的面積為2，故選B4.若滿足條件的整點(x，y)恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為()A3B2 C1D0【答案】C【解析】： 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)a0時，平面區(qū)域內(nèi)只有4個整點(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；當(dāng)a1時，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5個整點，故選C5已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a ()A3B2C2D36.若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是 ()ABCD【答案】B【解析】：根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分，當(dāng)斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件，聯(lián)立方程組求得A(1,2)，聯(lián)立方程組求得B(2,1)，可求得分別過A，B點且斜率為1的兩條直線方程為xy10和xy10，由兩平行線間的距離公式得距離為，故選B7.若變量x，y滿足約束條件則的最大值為 ()A1 B3 C D5【答案】C8.已知z2xy，其中實數(shù)x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是 () A B C4 D【答案】B【解析】：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z2xy得y2xz，平移直線y2x，由圖可知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點A時，直線的縱截距最大，此時z最大，9.若變量x，y滿足則x2y2的最大值是 ()A4B9C10D12【答案】C【解析】：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，由得A(3，1)，由圖易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故選C10.若x，y滿足，且z3xy的最大值為2，則實數(shù)m的值為 ()ABC1D2【答案】D【解析】：若z3xy的最大值為2，則此時目標(biāo)函數(shù)為y3x2，直線y3x2與3x2y20和xy1分別交于A(2,4)，B，mxy0經(jīng)過其中一點，所以m2或m，當(dāng)m時，經(jīng)檢驗不符合題意，故m2，選D11某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型客車不多于A型客車7輛則租金最少為 ()A31 200元B36 000元C36 800元D38 400元【答案】C【解析】：設(shè)旅行社租用A型客車x輛，B型客車y輛，租金為z元，則約束條件為目標(biāo)函數(shù)為z1 600x2 400y.12設(shè)zxy，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則z的最小值為()A3B6C3D6【答案】B【解析】：不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示：由得A(k，k)，易知目標(biāo)函數(shù)zxy在點A處取最大值，則12kk，故k6，所以B(12,6)，又目標(biāo)函數(shù)zxy在點B處取最小值，z的最小值為6，故選B.二、填空題13若點(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是_【答案】(1，)【解析】：點(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面區(qū)域內(nèi)，2m350，即m1.14已知實數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為1，則實數(shù)m_. 【答案】515已知實數(shù)x，y滿足則z的取值范圍為_【答案】【解析】：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z表示點D(2,3)與平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)之間連線的斜率因點D(2,3)與B(8,1)連線的斜率為且C的坐標(biāo)為(2，2)，故由圖知z的取值范圍為16若變量x，y滿足則2xy的取值范圍為_. 【答案】2,2 三、解答題17已知D是以點A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部) (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組；(2)設(shè)點B(1，6)，C(3,2)在直線4x3ya0的異側(cè)，求a的取值范圍【答案】(1) (2) (18,14)故a的取值范圍是(18,14)18若x，y滿足約束條件(1)求目標(biāo)函數(shù)zxy的最值；(2)若目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍. 【答案】(1) 最大值為1，最小值為2. (2) (4,2)【解析】：(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直線xy0，過A(3,4)取最小值2，過C(1,0)取最大值1，所以z的最大值為1，最小值為2.(2)直線ax2yz僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知1<<2，解得4<a<2.故所求a的取值范圍為(4,2)19電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式， 并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？【答案】(2) 每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數(shù)點(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時，z的值就最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得則點M的坐標(biāo)為(6,3)所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多