3.3.2正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解掌握正切函數(shù)的性質(zhì).2.能利用正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決有關(guān)問題知識鏈接1正切函數(shù)的定義域是什么？用區(qū)間如何表示？答，x (kZ)2如何作正切函數(shù)的圖象？答類似于正弦、余弦函數(shù)的“五點(diǎn)法”作圖，正切曲線的簡圖可用“三點(diǎn)兩線法”，這里的三點(diǎn)分別為(k，0)，其中kZ，兩線分別為直線xk(kZ)，xk(kZ)3根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式，你能判斷正切函數(shù)具有奇偶性嗎？答從正切函數(shù)的圖象來看，正切曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；從誘導(dǎo)公式來看，tan(x)tanx故正切函數(shù)是奇函數(shù)預(yù)習(xí)導(dǎo)引函數(shù)ytanx的性質(zhì)與圖象見右表：ytanx圖象定義域x|xR，且xk，kZ值域R奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在開區(qū)間 (kZ)內(nèi)遞增要點(diǎn)一求正切函數(shù)的定義域例1求函數(shù)y的定義域解根據(jù)題意，得解得所以函數(shù)的定義域?yàn)?kZ)規(guī)律方法求定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)自身的限制條件，另外解不等式時(shí)要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線跟蹤演練1求函數(shù)ylg(1tanx)的定義域解由題意得即1tanx<1.在內(nèi)，滿足上述不等式的x的取值范圍是.由誘導(dǎo)公式得函數(shù)定義域是(kZ)要點(diǎn)二正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用例2(1)求函數(shù)ytan的單調(diào)區(qū)間(2)比較tan1、tan2、tan3的大小解(1)ytantan，由k<x<k(kZ)，得2k<x<2k，kZ，函數(shù)ytan的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.(2)tan2tan(2)，tan3tan(3)，又<2<，<2<0.<3<，<3<0，顯然<2<3<1<，且ytanx在內(nèi)是增函數(shù)，tan (2)<tan (3)<tan1，即tan2<tan3<tan1.規(guī)律方法正切型函數(shù)單調(diào)性求法與正弦、余弦型函數(shù)求法一樣，采用整體代入法，但要注意區(qū)間為開區(qū)間且只有單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間利用單調(diào)性比較大小要把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)跟蹤演練2(1)求函數(shù)y3tan的單調(diào)區(qū)間(2)比較tan與tan的大小解(1)y3tan3tan，令k<2x<k，則<x<，kZ，從而函數(shù)y3tan的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ，故函數(shù)y3tan的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.(2)tantantan，tantantantantan，<<<，ytanx在上單調(diào)遞增，tan<tan，即tan>tan.要點(diǎn)三正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x)tan.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、單調(diào)區(qū)間及對稱中心；(2)求不等式1f(x)的解集解(1)由k(kZ)得x2k，f(x)的定義域是.由k<<k(kZ)得2k<x<2k(kZ)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)由(kZ)得xk，故函數(shù)f(x)的對稱中心是，kZ.(2)由1tan，得kk(kZ)解得2kx2k(kZ)不等式1f(x)的解集是.規(guī)律方法對于形如ytan(x)(、為非零常數(shù))的函數(shù)性質(zhì)和圖象的研究，應(yīng)以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象為基礎(chǔ)，運(yùn)用整體思想和換元法求解如果<0，一般先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再進(jìn)行求解跟蹤演練3畫出函數(shù)y|tanx|的圖象，并根據(jù)圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性解由y|tanx|得，y其圖象如圖由圖象可知，函數(shù)y|tanx|是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ).1函數(shù)y3tan(2x)的定義域是()Ax|xk，kZBx|x，kZCx|x，kZDx|x，kZ答案C2函數(shù)f(x)tan(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(k，k)，kZB(k，(k1)，kZC(k，k)，kZD(k，k)，kZ答案C3方程tan在區(qū)間0,2)上的解的個數(shù)是()A5B4C3D2答案B解析由tan解得2xk(kZ)，x(kZ)，又x0,2)，x0，.故選B.4求函數(shù)y3tan的單調(diào)區(qū)間解因?yàn)閥3tan3tan，又ytan的單調(diào)遞增區(qū)間，令kk(kZ)，所以3kx3k2(kZ)所以y3tan的單調(diào)遞減區(qū)間為(3k，3k2)(kZ)1.正切函數(shù)的圖象正切函數(shù)有無數(shù)多條漸近線，漸近線方程為xk，kZ，相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線，且單調(diào)遞增2正切函數(shù)的性質(zhì)(1)正切函數(shù)ytanx的定義域是，值域是R.(2)正切函數(shù)在(kZ)上遞增，不能寫成閉區(qū)間正切函數(shù)無單調(diào)減區(qū)間一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1函數(shù)ytan，xR且xk，kZ的一個對稱中心是()A(0,0) B.C.D(，0)答案C2函數(shù)y的值域是()A1,1B(，11，)C(，1 D1，)答案B解析x且x0，1tan1，且tanx0，令tanxt，則y(如圖)，y1或y1.3不等式tanx的解集是()A.B.(kZ)C.D.(kZ)答案D解析在內(nèi)，不等式tanx的解x.所以原不等式的解集為(kZ)4下列各式中正確的是()Atan735>tan800Btan1>tan2Ctan<tanDtan<tan答案D5與函數(shù)ytan的圖象不相交的一條直線是()AxByCxDy答案C解析由正切曲線可知，與ytanx的圖象不相交的直線是xk(kZ)，所以與函數(shù)ytan的圖象不相交的直線是2xk(kZ)，即x(kZ)，故選C.6函數(shù)y的定義域是_答案(kZ)解析tanx0，tanx，kxk(kZ)定義域?yàn)?kZ)7求函數(shù)ytan2x4tanx1，x的值域解x，1tanx1.令tanxt，則t1,1yt24t1(t2)25.當(dāng)t1，即x時(shí)，ymin4，當(dāng)t1，即x時(shí)，ymax4.故所求函數(shù)的值域?yàn)?,4二、能力提升8函數(shù)ytan(sinx)的值域?yàn)?)A.B.Ctan 1，tan 1D以上均不對答案C解析1sinx1，sinx.又ytanx在上單調(diào)遞增，tan (1)ytan1，即ytan 1，tan 19函數(shù)ytanxsinx|tanxsinx|在區(qū)間內(nèi)的圖象是()答案D解析當(dāng)<x<，tanx<sinx，y2tanx<0；當(dāng)x時(shí)，y0；當(dāng)<x<時(shí)，tanx>sinx，y2sinx故選D.10已知f(x)asinxbtanx1，且f7，則f的值為_答案5解析fasinbtan17，asinbtan6，fasinbtan1asinbtan11615.11已知函數(shù)f(x)x22xtan1，x1，(，)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值(2)求的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間1，上是單調(diào)函數(shù)解(1)當(dāng)時(shí)，f(x)x2x1(x)2(x1，)，當(dāng)x時(shí)，f(x)min；當(dāng)x1時(shí)，f(x)max.(2)函數(shù)f(x)(xtan)21tan2的圖象的對稱軸為直線xtan.yf(x)在區(qū)間1，上是單調(diào)函數(shù)，tan1或tan.tan1或tan.解得的取值范圍是，)(，12已知x，f(x)tan2x2tanx2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x值解f(x)tan2x2tanx2(tanx1)21，因?yàn)閤，所以tanx1.當(dāng)tanx1即x時(shí)，f(x)取最小值1；當(dāng)tanx1，即x時(shí)，f(x)取最大值5.三、探究與創(chuàng)新13函數(shù)ysinx與ytanx的圖象在區(qū)間0,2上交點(diǎn)的個數(shù)是多少？解因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，tanx>x>sinx，所以當(dāng)x時(shí)，ysinx與ytanx沒有公共點(diǎn)，因此函數(shù)ysinx與ytanx在區(qū)間0,2內(nèi)的圖象如圖所示：觀察圖象可知，函數(shù)ytanx與ysinx在區(qū)間0,2內(nèi)有3個交點(diǎn)