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專題檢測（十九） 不等式選講
1．(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|＋1；
(2)若對x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求證：f(x)<1.
解：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，
即或或
得≤x＜2或0＜x＜或無解．
故不等式f(x)<|x|＋1的解集為{x|0
1的解集；
(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集為.
(2)當x∈(0,1)時|x＋1|－|ax－1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax－1|<1成立．
若a≤0，則當x∈(0,1)時，|ax－1|≥1；
若a>0，則|ax－1|<1的解集為，
所以≥1，故00，
所以|4ab－1|>2|b－a|.
4．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2.
(1)求＋的最小值．
(2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式|x－1|＋|2x－3|≥＋成立，求實數(shù)x的取值范圍．
解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1，
又因為＋＝(a＋2b)＝＋＋4，
由a，b∈(0，＋∞)可知＋＋4≥2＋4＝8，
當且僅當a＝2b時取等號，所以＋的最小值為8.
(2)由(1)及題意知不等式等價于|x－1|＋|2x－3|≥8，
①所以x≤－.
②無解，
③所以x≥4.
綜上，實數(shù)x的取值范圍為∪[4，＋∞)．
5．(2018全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)畫出y＝f(x)的圖象；
(2)當x∈[0，＋∞)時，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的圖象如圖所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值為5.
6．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，
f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.
當x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；
當－10，
解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設可得f(x)＝
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
所以△ABC的面積為(a＋1)2.
由題設得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞)．
7．(2018鄭州二檢)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.
當x<－時，即－3x－2－x＋1<4，
解得－1時，即3x＋2＋x－1<4，無解．
綜上所述，x∈.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
當且僅當m＝n＝時等號成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
所以x＝－時，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g(x)max＝＋a≤4，即00，b>0)的最小值為1.
(1)求a＋b的值；
(2)若m≤＋恒成立，求實數(shù)m的最大值．
解：(1)f(x)＝
則f(x)在區(qū)間(－∞，－b]上單調遞減，在區(qū)間[－b，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)min＝f(－b)＝a＋b，所以a＋b＝1.
(2)因為a>0，b>0，且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝3＋＋，
又3＋＋≥3＋2＝3＋2，當且僅當＝時，等號成立，
所以當a＝－1，b＝2－時，＋有最小值3＋2.
所以m≤3＋2，所以實數(shù)m的最大值為3＋2.
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