第一課時(shí)組合與組合數(shù)公式教材研讀預(yù)習(xí)教材P2124，思考以下問題1組合的概念是什么？2什么是組合數(shù)？組合數(shù)公式是怎樣的？3組合數(shù)有怎樣的性質(zhì)？要點(diǎn)梳理1組合的定義從n個(gè)不同元素中取出m(nm)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2組合數(shù)的概念、公式、性質(zhì)自我診斷判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)1從a，b，c三個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)元素的一個(gè)組合是C.()2從1,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得C個(gè)積()31,2,3與3,2,1是同一個(gè)組合()4C54360.()答案1.2.3.4.思考：區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是看它有無順序，有順序的是排列問題，無順序的是組合問題 (1)判斷下列問題是組合問題還是排列問題：設(shè)集合Aa，b，c，d，e，則集合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得1本，有幾種分配方法？(2)從5個(gè)不同元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)，寫出所有不同的組合思路導(dǎo)引對于(1)關(guān)鍵是看有無順序，有順序的是排列問題，無順序的即為組合問題；對于(2)每次取出兩個(gè)元素即可，無順序，但注意不重不漏解(1)因?yàn)楸締栴}與元素順序無關(guān)，故是組合問題因?yàn)榧渍镜揭艺?，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價(jià)與順序無關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問題因?yàn)榉止し椒ㄊ菑?種不同的工作中取出3種，按一定次序分給3個(gè)人去干，故是排列問題因?yàn)?本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題(2)要寫出所有的組合，首先要把元素按一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個(gè)組合逐個(gè)標(biāo)出如圖所示：因此可得所有組合為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.區(qū)分排列與組合的方法區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題【溫馨提示】排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：二者都是從n個(gè)不同的元素中取m(nm)個(gè)元素區(qū)別：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)，只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的排列只要兩個(gè)組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合跟蹤訓(xùn)練判斷下列問題是組合問題還是排列問題(1)從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(4)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(5)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？解(1)兩名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題(2)兩名學(xué)生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊(duì)之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題(4)冠、亞軍是有順序的，是排列問題(5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒有順序，是組合問題(6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍，有順序，是排列問題題型二組合數(shù)的計(jì)算與證明思考：我們知道，“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，那么，“組合”與“組合數(shù)”是同一個(gè)概念嗎？為什么？提示：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，“組合”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù) (1)計(jì)算：CCA；C2CC；CCCCCC.(2)證明：mCnC.思路導(dǎo)引利用組合數(shù)公式及性質(zhì)求解解(1)CCACA7652102100.原式(CC)(CC)CCCC161700.原式(CC)CCCC(CC)CCCCCCC462.(2)證明：左邊mnnC右邊，mCnC.(1)有關(guān)組合數(shù)的兩個(gè)公式的應(yīng)用范疇是有所區(qū)別的，C常用于n，m為具體自然數(shù)的題目，一般偏向于具體組合數(shù)的計(jì)算；公式C常用于n，m為字母或含有字母的式子的題目，一般偏向于方程的求解或有關(guān)組合數(shù)的恒等式的證明(2)關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)1(CC)該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對稱性，即從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，都對應(yīng)著剩下的nm個(gè)元素的一個(gè)組合，反過來也一樣，這是一一對應(yīng)的關(guān)系當(dāng)m>時(shí)，通常不直接計(jì)算C，而改為計(jì)算C.(3)關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)2(CCC)形式特點(diǎn)：公式的左端下標(biāo)為n1，右端下標(biāo)為n，相差1，上標(biāo)左端與右端的一個(gè)相同，右端的另一個(gè)比它們少1；作用：常用于有關(guān)組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明應(yīng)用時(shí)要注意公式的正用、逆用和變形用正用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè)，逆用則是“合二為一”，使用變形CCC，為某些項(xiàng)前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：CC的值解9.5n10.5.nN*，n10.CCCCCC31466.2求使3C5A成立的x值解根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為35，即，即為(x3)(x6)40.x29x220，解得x11或x2.經(jīng)檢驗(yàn)知x11時(shí)原式成立3證明下列各等式(1)CC；(2)CCCCC.證明(1)右邊C左邊，原式成立(2)左邊(CC)CCC(CC)CC(CC)C(CC)CCCC右邊，原式成立 現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名(1)從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)從中選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)，有多少種不同的選法？(3)從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？思路導(dǎo)引利用組合數(shù)C求解時(shí)，確定好m、n的值，結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題解(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即有C45種不同的選法(2)可把問題分兩類：第1類，選出2名男教師，有C種方法；第2類，選出2名女教師，有C種方法，即共有CC21種不同的選法(3)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CC90種不同的選法解答簡單的組合問題的思路(1)弄清楚做的這件事是什么；(2)分析這件事是否需分類或分步完成；(3)結(jié)合兩計(jì)數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結(jié)果跟蹤訓(xùn)練一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是C56.(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，取法種數(shù)是C21.(3)由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是C35.1.本節(jié)課的重點(diǎn)是組合的概念、組合數(shù)公式及其性質(zhì)、簡單的組合應(yīng)用問題，難點(diǎn)是組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)組合概念的理解，見典例1；(2)組合數(shù)的計(jì)算與證明，見典例2；(3)會解決簡單的組合應(yīng)用題，見典例3.3.本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用組合數(shù)性質(zhì)CC解題時(shí)，易誤認(rèn)為一定有xy，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤事實(shí)上，CC