2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-2-3空間向量與空間角 3-2-4空間向量與空間距離 教案（一）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問題2.過程與方法：通過分析、推導(dǎo)讓學(xué)生掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問題。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生對(duì)問題的探究思考，廣泛參與，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，會(huì)用空間想像思維解決生活中實(shí)際問題。 （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問題難點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問題（三）教學(xué)過程活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 問題1：在空間中，用空間向量解決立體幾何的步驟？問題2：空間中的距離有多少種？用空間向量如何解決？今天我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量來表示并進(jìn)行解決一些角度的應(yīng)用 點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“用空間向量方法求角度問題” 活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知問題3：回憶立體幾何中有那些空間角？求空間角有那些步驟？ 1 異面直線所成的角 范圍 090方法 平移法；補(bǔ)形法 2 直線與平面所成的角 范圍 090方法 關(guān)鍵是作垂線，找射影 3 二面角方法 定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法 4、空間角的計(jì)算步驟 一作、二證、三算問題4：想一想平面向量中兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義呢？ab|a|b|cosa,b或cosa,b，可求兩個(gè)向量的數(shù)量積或夾角問題；新課：三種空間角的向量法計(jì)算公式：線線角：異面直線所成的角：；線面角：直線與平面(法向量)所成的角：；二面角：銳二面角：，其中為兩個(gè)面的法向量?；顒?dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。（1）異面直線、所成的角：在空間中任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別引，則，所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角。兩條異面直線所成角的范圍：。求法：把兩條異面直線中的一條放入一個(gè)平面，另一條與這個(gè)平面有交點(diǎn)，過這個(gè)交點(diǎn)在平面內(nèi)作第一條的平行線，則這兩條直線所成的角為兩條異面直線所成的角。然后解三角形得到。運(yùn)用向量：在直線上取兩點(diǎn)A、B，在直線上取兩點(diǎn)C、D，若直線與的夾角為，則。例1、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，ABDC,ACBD,AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2,PO=,PBPD.求異面直接PD與BC所成角的余弦值；解法一：平面， ，又，由平面幾何知識(shí)得：（）過做交于于，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，四邊形是等腰梯形，又，四邊形是平行四邊形。，是的中點(diǎn)，且，又，為直角三角形，在中，由余弦定理得故異面直線PD與所成的角的余弦值為解法二： 平面， ，又，由平面幾何知識(shí)得：以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，（1）， ， 。若與所成的角為，則。故直線與所成的角的余弦值為（2）直線與平面角：斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。直線與平面所成角的范圍為：。求法：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直來確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用三棱錐體積等量來求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離。運(yùn)用向量：設(shè)是平面的法向量，A、B是直線上的點(diǎn)，如果直線與平面所成的角為，則。例2：如圖，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=，VDC=。當(dāng)角變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍；ADBCVxyz解：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，則由得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為（3）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的幾何圖形，叫二面角。二面角的范圍為。求二面角大?。?找出二面角的平面角，然后利用解三角形來求出。利用面積射影定理。運(yùn)用向量：從相交棱上一點(diǎn)（或兩點(diǎn)）出發(fā)，找與相交棱方向向量垂直的兩個(gè)向量、，則、這兩個(gè)向量所成的角的大小等于二面角的大小。ABCDEA1B1C1例3：如圖，在直三棱柱中，ABBC，D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)設(shè)AA1ACAB，求二面角A1ADC1的大小解：（）如圖，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)ABCDEA1B1C1Ozxy設(shè)，則，設(shè)分的比為，則，而，由，所以，;又，。由， ，知，即二面角A1ADC1的大小為?；顒?dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識(shí)1在空間中，角度有幾種情況？2如何用空間向量求各種角度？3.2.4空間向量與空間距離（一）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問題。2.過程與方法：通過分析、推導(dǎo)讓學(xué)生掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問題。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生對(duì)問題的探究思考，廣泛參與，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，會(huì)用空間想像思維解決生活中實(shí)際問題。（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問題難點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問題（三）教學(xué)過程活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 問題1：在空間中，如何表示一個(gè)點(diǎn)？一條直線？一個(gè)平面？問題2：如何用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與平面的位置關(guān)系？今天我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量來表示并進(jìn)行解決一些簡單的應(yīng)用 點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“用空間向量方法求線段長度” 活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知問題4：類比平面向量解決平面幾何的步驟，說說用空間向量解決立體幾何的步驟？1、用向量解決立體幾何的三步曲：建立圖形空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題通過向量運(yùn)算研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的夾角和距離問題把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。問題5：空間中點(diǎn)、線、面有那些位置關(guān)系？2.空間中的距離主要指以下七種 (1)兩點(diǎn)之間的距離 (2)點(diǎn)到直線的距離 (3)點(diǎn)到平面的距離 (4)兩條平行線間的距離 (5)兩條異面直線間的距離 (6)平面的平行直線與平面之間的距離 (7)兩個(gè)平行平面之間的距離 七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離 七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離 在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn) 求點(diǎn)到平面的距離 (1) 直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長 (2) 轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離 (3) 體積法 (4) 向量法 求異面直線的距離 (1)定義法，即求公垂線段的長 (2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離 (3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的 2.用向量法求距離的公式：異面直線之間的距離：，其中。直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量。兩平行平面之間的距離：，其中。是平面的法向量。點(diǎn)A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。另法：點(diǎn)平面則 點(diǎn)A到直線的距離： ，其中，是直線的方向向量。兩平行直線之間的距離：，其中，是的方向向量?；顒?dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知例1：如圖四棱柱ABCD-ABCD中以A為頂點(diǎn)的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60求對(duì)角線AC長和棱長的關(guān)系解：設(shè)AB=AA1=AD=1，BAD=BAA1=DAA1=60（化為向量問題）根據(jù)向量的加法法則： （進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問題）例2：把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求 (1)EF的長；(2)折起后EOF的大小 解 如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 設(shè)正方形ABCD邊長為a,則A(0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0) EOF=120 活動(dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識(shí)1在空間中，距離有幾種情況？2如何用直線的方向向量與平面的法向量判斷求距離？