2.6.1曲線與方程學習目標1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.3.學會分析、判斷曲線與方程的關(guān)系，強化“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一以及相互轉(zhuǎn)化的思想方法知識點曲線與方程的概念思考到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是什么？為什么？答案yx.在直角坐標系中，到兩坐標軸距離相等的點M的坐標(x0，y0)滿足y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程yx的解；反之，如果(x0，y0)是方程yx或yx的解，那么以(x0，y0)為坐標的點到兩坐標軸距離相等梳理如果曲線C上點的坐標(x，y)都是方程f(x，y)0的解(條件，即純粹性)，且以方程f(x，y)0的解(x，y)為坐標的點都在曲線C上(條件，即完備性)，那么，方程f(x，y)0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)0的曲線特別提醒：(1)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念，是從不同角度出發(fā)的兩種說法曲線C的點集和方程f(x，y)0的解集之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，曲線的性質(zhì)可以反映在它的方程上，方程的性質(zhì)又可以反映在曲線上定義中的條件說明曲線上的所有點都適合這個方程；條件說明適合方程的點都在曲線上而毫無遺漏(2)曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關(guān)系，通過曲線上的點與實數(shù)對(x，y)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使方程成為曲線的代數(shù)表示，通過研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線的性質(zhì)1過點A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x3.()2到y(tǒng)軸距離為2的點的直線方程x2.()3方程1表示斜率為1，在y軸上的截距是2的直線()類型一曲線與方程的概念例1命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)0的解”是正確的，下列命題中正確的是_(填序號)方程f(x，y)0的曲線是C；方程f(x，y)0的曲線不一定是C；f(x，y)0是曲線C的方程；以方程f(x，y)0的解為坐標的點都在曲線C上答案解析不論方程f(x，y)0是曲線C的方程，還是曲線C是方程f(x，y)0的曲線，都必須同時滿足兩層含義：曲線上的點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都在曲線上，所以，錯誤反思與感悟解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是不是曲線的方程或判定曲線是不是方程的曲線)，只要一一檢驗定義中的“兩性”是否都滿足，并作出相應(yīng)的回答即可判斷點是否在曲線上，就是判斷點的坐標是否適合曲線的方程跟蹤訓(xùn)練1設(shè)方程f(x，y)0的解集非空，如果命題“坐標滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上”是不正確的，給出下列命題：坐標滿足方程f(x，y)0的點都不在曲線C上；曲線C上的點的坐標都不滿足方程f(x，y)0；坐標滿足方程f(x，y)0的點有些在曲線C上，有些不在曲線C上；一定有不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)0.其中判斷正確的是_(填序號)答案解析“坐標滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上”不正確，即“坐標滿足方程f(x，y)0的點不都在曲線C上”是正確的“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”兩種情況，故錯，顯然錯類型二點與曲線的位置關(guān)系例2方程(x4y12)(3)log2(x2y)0表示的曲線經(jīng)過點A(0，3)，B(0,4)，C，D(8,0)中的_個答案2解析由對數(shù)的真數(shù)大于0，得x2y0，A(0，3)，C不符合要求；將B(0,4)代入方程檢驗，符合要求；將D(8,0)代入方程檢驗，符合要求反思與感悟點與實數(shù)解建立了如下關(guān)系：C上的點(x0，y0)?f(x，y)0的解，曲線上的點的坐標都是這個方程的解，因此要判斷點是否在曲線上只需驗證該點是否滿足方程即可跟蹤訓(xùn)練2證明圓心為坐標原點，半徑等于5的圓的方程是x2y225，并判斷點M1(3，4)，M2(2，2)是否在這個圓上解(1)設(shè)M(x0，y0)是圓上任意一點，因為點M到原點的距離等于5，所以5，也就是xy25，即(x0，y0)是方程x2y225的解(2)設(shè)(x0，y0)是方程x2y225的解，那么xy25，兩邊開方取算術(shù)平方根，得5，即點M(x0，y0)到原點的距離等于5，點M(x0，y0)是這個圓上的點由(1)，(2)可知，x2y225是圓心為坐標原點，半徑等于5的圓的方程把點M1(3，4)的坐標代入方程x2y225，左右兩邊相等，(3，4)是方程的解，所以點M1在這個圓上；把點M2(2，2)的坐標代入方程x2y225，左右兩邊不等，(2，2)不是方程的解，所以點M2不在這個圓上類型三曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用例3判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由(1)到x軸距離為4的點的直線方程為y4；(2)到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程為xy1；(3)ABC的頂點A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D為BC的中點，則中線AD的方程為x0.解(1)因到x軸距離為4的點的直線方程還有一個y4，即不具備完備性所以結(jié)論錯誤(2)到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程為|x|y|1，即xy1.所以所給問題不具備完備性所以結(jié)論錯誤(3)中線AD是一條線段，而不是直線，應(yīng)為x0(3y0)，所以所給問題不具備純粹性所以結(jié)論錯誤反思與感悟判斷曲線與方程關(guān)系問題時，可以利用曲線與方程的定義；也可利用互為逆否關(guān)系的命題的真假性一致判斷跟蹤訓(xùn)練3若曲線y2xy2xk0過點(a，a)(aR)，求k的取值范圍解曲線y2xy2xk0過點(a，a)，a2a22ak0.k2a22a22.k，k的取值范圍是.1已知坐標滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上，那么下列說法正確的是_(填序號)曲線C上的點的坐標都適合方程f(x，y)0；凡坐標不適合f(x，y)0的點都不在曲線C上；不在曲線C上的點的坐標必不適合f(x，y)0；不在曲線C上的點的坐標有些適合f(x，y)0，有些不適合f(x，y)0.答案2已知方程1，下列所給的點在此方程表示的曲線上的為_(填序號)(2,0)(1,2)(4,0)(3,1)答案解析將點(2,0)和(4,0)代入方程后成立，而，代入后方程不成立，故只有符合題意3若點M在方程x2(y1)210所表示的曲線上，則實數(shù)m_.答案或2解析依題意得2(m1)210，解得m2或m.所以m的值為2或.4方程4x2y26x3y0表示的圖形為_答案兩條相交直線解析原方程可化為(2xy)(2xy3)0，即2xy0或2xy30，原方程表示直線2xy0和直線2xy30.5方程(x24)2(y24)20表示的圖形是_答案4個點解析由題意，得或或或方程(x24)2(y24)20表示的圖形是4個點1判斷點是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點的坐標是不是方程的解，是否適合方程若適合方程，就說明點在曲線上；若不適合，就說明點不在曲線上2已知點在某曲線上，可將點的坐標代入曲線的方程，從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問題一、填空題1方程y3x2 (x1)表示的曲線為_(填序號)一條直線一條射線一條線段不能確定答案解析方程y3x2表示的曲線是一條直線，當x1時，它表示一條射線2曲線C的方程為y2x1(1<x<5)，則下列四個點中在曲線C上的是_(填序號) (0,0)(7,15)(2,3)(4,4)答案解析由y2x1(1<x<5)得，的橫坐標不滿足題意，中坐標代入后不滿足方程，故只有符合題意3方程|x|y|1表示的曲線所圍成的平面圖形的面積為_答案2解析由題得該曲線所圍成平面圖形如下圖所示，故其面積為2.4下列方程對應(yīng)的曲線是同一條曲線的是_(填序號)yalogax；y；ylogaax；y.答案解析由ylogaaxx，yx，得表示同一條曲線5方程(x1)20表示的是_答案點(1,2) 解析由(x1)20，知(x1)20，且0，即x1且y2，所以(x1)20表示的是點(1,2)6若點M到兩坐標軸的距離的積為2016，則點M的軌跡方程是_答案xy2016解析設(shè)M(x，y)，則由題意得|x|y|2016，所以xy2016.7直線l：ykx1，拋物線C：y24x，則“k0”是“直線l與拋物線C有兩個不同交點”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由(kx1)24x，得k2x22(k2)x10，則當k0時，2(k2)24k216(1k)>0，得k<1且k0，故“k0”是“直線l與拋物線C有兩個不同交點”的必要不充分條件8若直線kxy30與橢圓1有一個公共點，則k的值為_答案解析聯(lián)立方程組消去y并整理，得(4k21)x224kx200，當16(16k25)0，即k時，直線與橢圓有一個公共點9如果曲線C上的點滿足方程F(x，y)0，有以下說法：曲線C的方程是F(x，y)0；方程F(x，y)0的曲線是C；坐標滿足方程F(x，y)0的點在曲線C上；坐標不滿足方程F(x，y)0的點不在曲線C上其中正確的是_(填序號)答案10已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，若動點P滿足PA2PB，則點P的軌跡所圍的面積為_答案4解析設(shè)P(x，y)，PA2PB，(x2)2y24(x1)24y2，(x2)2y24.點P的軌跡為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，所圍成的面積S224.11下列命題正確的是_(填序號)ABC的頂點坐標分別為A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)，則中線AO的方程是x0；到x軸距離為5的點的軌跡方程是y5；曲線2x23y22xm0通過原點的充要條件是m0.答案解析對照曲線和方程的概念，中“中線AO的方程是x0 (0y3)”；而中，動點的軌跡方程為|y|5.從而只有是正確的二、解答題12已知曲線C的方程為x，說明曲線C是什么樣的曲線，并求該曲線與y軸圍成的圖形的面積解由x，得x2y24.又x0，方程x表示的曲線是以原點為圓心，2為半徑的右半圓，從而該曲線C與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S42.所以所求圖形的面積為2.13已知兩曲線f(x，y)0與g(x，y)0的一個交點為P(x0，y0)求證：點P在曲線f(x，y)g(x，y)0(R)上證明因為P(x0，y0)是兩曲線的交點，所以點P的坐標既滿足方程f(x，y)0，又滿足方程g(x，y)0，即f(x0，y0)0且g(x0，y0)0，故f(x0，y0)g(x0，y0)0，所以P(x0，y0)的坐標是方程f(x，y)g(x，y)0的解，故點P在曲線f(x，y)g(x，y)0(R)上三、探究與拓展14已知方程xy0；0；x2y20；1，其中能表示直角坐標系的第一、三象限的角平分線C的方程的序號是_答案解析是正確的；不正確，如點(1，1)在第三象限的角平分線上，但其坐標不滿足方程0；不正確如點(1,1)滿足方程x2y20，但它不在曲線C上；不正確如點(0,0)在曲線C上，但其坐標不滿足方程1.15方程(2x3y5)(1)0表示的曲線是什么？解因為(2x3y5)(1)0，所以可得或者10，即2x3y50(x3)或者x4，故方程表示的曲線為一條射線2x3y50(x3)和一條直線x4.