11.2充分條件和必要條件充分條件和必要條件如圖：p：開(kāi)關(guān)A閉合，q：燈泡B亮問(wèn)題1：p與q有什么關(guān)系？提示：命題p成立，命題q一定成立p：兩三角形相似，q：對(duì)應(yīng)角相等問(wèn)題2：p與q有什么關(guān)系？提示：命題p成立，命題q一定成立一般地，如果pq，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件充要條件已知p：整數(shù)x是6的倍數(shù)；q：整數(shù)x是2和3的倍數(shù)問(wèn)題1：“若p，則q”是真命題嗎？提示：是 問(wèn)題2：“若q，則p”是真命題嗎？提示：是問(wèn)題3：p是q的什么條件？提示：充要條件1如果pq，且qp，那么稱p是q的充分必要條件簡(jiǎn)稱p是q的充要條件，記作pq.2如果pq，且q / p，那么稱p是q的充分不必要條件3如果p / q，且qp，那么稱p是q的必要不充分條件4如果p / q，且q / p，那么稱p是q的既不充分又不必要條件原命題“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，則p與q的關(guān)系有以下四種情形：原命題逆命題p、q的關(guān)系真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件真真p與q互為充要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件充分條件和必要條件的判斷例1對(duì)于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，下列結(jié)論正確的是_b24ac0是函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的充要條件；b24ac0是函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的充分條件；b24ac>0是函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的必要條件；b24ac<0是函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)的充要條件思路點(diǎn)撥逐一分析，根據(jù)二次函數(shù)與的關(guān)系，判斷結(jié)論是否正確精解詳析是正確的，因?yàn)閎24ac0方程ax2bxc0(a0)有實(shí)根f(x)ax2bxc有零點(diǎn)；是正確的，因?yàn)閎24ac0方程ax2bxc0(a0)有實(shí)根，因此函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)有零點(diǎn)，但是f(x)ax2bxc(a0)有零點(diǎn)時(shí)，有可能>0；是錯(cuò)誤的，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax2bxc(a0)有零點(diǎn)時(shí)，方程ax2bxc0(a0)有實(shí)根，但未必有b24ac>0，也有可能0；是正確的，因?yàn)閎24ac<0方程ax2bxc0(a0)無(wú)實(shí)根函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)無(wú)零點(diǎn)答案一點(diǎn)通充分、必要條件判斷的常用方法：(1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷(2)等價(jià)法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)命題判斷1從“”、“ / ”與“”中選出適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：(1)x>1_x>0；(2)a>b_a2>b2；(3)a2b22ab_ab；(4)A_A.解析：(1)由于命題“若x>1，則x>0”為真命題，則x>1x>0；(2)由于命題“若a>b，則a2>b2”為假命題，則a>b/ a2>b2；(3)由于命題“若a2b22ab，則ab”為真命題，且逆命題也為真命題，故a2b22abab；(4)由于命題“若A，則A”為真命題，且逆命題也為真命題，故AA.答案：(1)(2) / (3)(4)2(福建高考改編)已知集合A1，a，B1,2,3，則“a3”是“AB”的_條件解析：因?yàn)锳1，a，B1,2,3，若a3，則A1,3，所以AB；若AB，則a2或a3，所以AB / a3，所以“a3”是“AB”的充分不必要條件答案：充分不必要3指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選一個(gè)作答)：(1)p：x30，q：(x2)(x3)0；(2)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；(3)p：a>b，q：ac>bc；(4)p：a>b，q：ac>bc.解：(1)x30(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0 / x30，故p是q的充分不必要條件(2)兩個(gè)三角形相似 / 兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形相似，故p是q的必要不充分條件(3)a>bac>bc，且ac>bca>b，故p是q的充要條件(4)a>b / ac>bc，且ac>bc / a>b，故p是q的既不充分又不必要條件.充分條件、必要條件的應(yīng)用例2已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路點(diǎn)撥先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件，再根據(jù)p是q的充分不必要條件確定a的不等式組，求得a的范圍精解詳析令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0x|x或x2，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且q / p，得MN.或a<2或<a2a2.即所求a的取值范圍是，2一點(diǎn)通根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍：(1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則MN；(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)；(4)求參數(shù)范圍4已知p：關(guān)于x的不等式<x<，q：x(x3)<0，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：記A，Bx|x(x3)<0x|0<x<3，若p是q的充分不必要條件，則AB.注意到Bx|0<x<3，分兩種情況討論：(1)若A，即，求得m0，此時(shí)AB，符合題意；(2)若A，即<，求得m>0，要使AB，應(yīng)有解得0<m<3.綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，3)5已知條件p：x2x60，條件q：mx10，且q是p的充分不必要條件，求m的值解：由題意得p：Ax|x3或x2，當(dāng)m0時(shí)，pB，當(dāng)m0時(shí)，P：B.q是p的充分不必要條件，BA.易知m0適合題意當(dāng)3或2，即m或m時(shí)，也適合題意m的值為或或0.求充要條件例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpnq(p0，p1)，求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件思路點(diǎn)撥根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與數(shù)列通項(xiàng)an的關(guān)系，先求出數(shù)列的通項(xiàng)an，根據(jù)數(shù)列an為等比數(shù)列，探求q所滿足的條件，同時(shí)要注意充分性的證明精解詳析a1S1pq.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pn1(p1)，p0，p1，p.若an為等比數(shù)列，則p，p，p0，p1pq，q1.an為等比數(shù)列的必要條件是q1.下面證明q1是an為等比數(shù)列的充分條件當(dāng)q1時(shí)，Snpn1(p0，p1)，a1S1p1；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pnpn1pn1(p1)，an(p1)pn1(p0，p1)，p為常數(shù)，q1時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q1.一點(diǎn)通求充要條件一般有兩種方法：(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化法將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)化，直至獲得其成立的充要條件，求解的過(guò)程同時(shí)也是證明的過(guò)程，因?yàn)榍蠼獾倪^(guò)程的每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必要性分開(kāi)來(lái)證(2)非等價(jià)轉(zhuǎn)化法先尋找必要條件，即將求充要條件的對(duì)象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對(duì)象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說(shuō)明6使函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1，)上為增函數(shù)的充分不必要條件為_(kāi)解析：由函數(shù)f(x)|xa|的圖像知，函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1，)上為增函數(shù)的充要條件為a1，所以使“函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1，)上為增函數(shù)”的充分不必要條件即求使“a1”成立的充分不必要條件，即填寫(xiě)形如ap，且p<1即可，故答案不唯一，可填a0.答案：a07設(shè)nN*，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.解析：由于方程都是正整數(shù)解，由判別式“164n0”得“1n4”，逐個(gè)分析，當(dāng)n1、2時(shí)，方程沒(méi)有整數(shù)解；而當(dāng)n3時(shí)，方程有正整數(shù)解1、3；當(dāng)n4時(shí)，方程有正整數(shù)解2.答案：3或41關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件以及既不充分又不必要條件的關(guān)系有如下四種情形：(1)若pq，則p是q的充分不必要條件；(2)若qp，則p是q的必要不充分條件；(3)若pq，則p是q的充分必要條件，既充要條件；(4)若pq，且qp，則p是q的既不充分又不必要條件2根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，往往運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，利用互為逆否命題的等價(jià)性來(lái)解決對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二) 1(安徽高考改編)“(2x1)x0”是“x0”的_條件解析：由(2x1)x0可得x或x0，因?yàn)椤皒或x0”是“x0”的必要不充分條件，所以“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分條件答案：必要不充分2已知直線l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，則l1l2的充要條件是a_.解析：由13a(a2)0，得a3或1，而a3時(shí)，兩條直線重合，所以a1.答案：13對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：“ab”是“acbc”的充要條件；“a>b”是“a2>b2”的充分條件；“a<5”是“a<3”的必要條件；“a5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件其中真命題的序號(hào)為_(kāi)解析：“ab”是acbc的充分不必要條件，故錯(cuò)，a>b是a2>b2的既不充分也不必要條件，故錯(cuò)正確答案：4(北京高考改編)“”是“曲線ysin(2x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的_條件解析：由sin 0可得k(kZ)，此為曲線ysin(2x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件，故“”是“曲線ysin(2x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分不必要條件答案：充分不必要5若p：x(x3)<0是q：2x3<m的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：p：0<x<3，q：x<，若p是q的充分不必要條件，則3，即m3.答案：3，)6求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.證明：(1)必要性：因?yàn)榉匠蘟x2bxc0有一正根和一負(fù)根，所以b24ac>0，x1x2<0(x1，x2為方程的兩根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得b24ac>0及x1x2<0(x1，x2為方程的兩根)所以方程ax2bxc0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)，即方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根綜上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.7求直線l：axyb0經(jīng)過(guò)兩直線l1：2x2y30和l2：3x5y10交點(diǎn)的充要條件解：由得交點(diǎn)P.若直線l：axyb0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則ab0.17a4b11.設(shè)a，b滿足17a4b11，則b，代入方程axyb0，得axy0，整理，得a0.直線l：axyb0恒過(guò)點(diǎn)，此點(diǎn)即為l1與l2的交點(diǎn)綜上，直線l：axyb0經(jīng)過(guò)兩直線l1：2x2y30和l2：3x5y10交點(diǎn)的充要條件為17a4b11.8已知p：6x46，q：x22x1m20(m>0)，若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：p：6x462x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0(m>0)1mx1m(m>0)因?yàn)閝是p的充分不必要條件即x|1mx1mx|2x10，如圖，故有或解得m3.又m>0，所以實(shí)數(shù)m的范圍為m|0<m3