一 二維形式的柯西不等式課時(shí)作業(yè) A組基礎(chǔ)鞏固1若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A2，2 B2，2 C， D(， 解析：a2b210，(a2b2)(1212)(ab)2，即20(ab)2，2 ab2.答案：A2函數(shù)y2的最大值是()A3BC. D4解析：y2222()263，當(dāng)且僅當(dāng)2，即x時(shí)等號(hào)成立y的最大值為.答案：C3如果實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2n2a，x2y2b，其中a，b為常數(shù)，那么mxny的最大值為()A. BC. D解析：由柯西不等式，得(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab，當(dāng)mn，xy時(shí)，(mxny)max.答案：B4若ab1，則22的最小值為()A1 B2C. D解析：22a22b22.ab1，a2b2(a2b2)(11)(ab)2，又8，以上兩個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立22228，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，取到最小值.答案：C5若長(zhǎng)方形ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形ABCD周長(zhǎng)的最大值為()A2R B2RC4R D4R解析：如圖，設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為x，則寬為，于是ABCD的周長(zhǎng)l2(x)2(1x1)由柯西不等式得l2x2()2(1212)22R4R.當(dāng)且僅當(dāng)x11，即xR時(shí)等號(hào)成立此時(shí) R，即四邊形ABCD為正方形，故周長(zhǎng)為最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形是正方形，其周長(zhǎng)為4R.答案：D6若存在實(shí)數(shù)x使>a成立，常數(shù)a的取值范圍為_解析：1，由柯西不等式得(1)2(31)(x214x)64，所以8，當(dāng)且僅當(dāng)x10時(shí)取“”，于是，常數(shù)a的取值范圍是(，8)答案：(，8)7設(shè)xy>0，則(x2)(y2)的最小值為_解析：原式29.答案：98設(shè)實(shí)數(shù)x， y滿足3x22y26，則2xy的最大值為_解析：(x)2(y)2(2xy)2，|2xy| ，當(dāng)且僅當(dāng)yx，即3x4y且3x22y26時(shí)，等號(hào)成立，而此方程組有解2xy的最大值為.答案：9已知為銳角，a，b>0，求證：(ab)2.證明：設(shè)m，n(cos ，sin )，則|ab|cos sin |mn|m|n|，(ab)2.10設(shè)a，bR，若ab2，求的最小值解析：(ab)()2()22(11)24.24，即2.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)取等號(hào)，當(dāng)ab1時(shí)，的最小值為2. B組能力提升1設(shè)a1、a2、b1、b2R，則下列不等式中，柯西不等式用錯(cuò)的是()A(ab)(ab)(a1a2b1b2)2B(ab)(ab)(a1b2b1a2)2C(ab)(ab)(a1b1a2b2)2D(aa)(bb)(a1b1a2b2)2答案：C2設(shè)xy>0，則的最小值為_解析：原式x2()2()2y2(xy)29.答案：93已知a，bR，且ab1，則()2的最大值是_解析：()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22|412|12.答案：124已知a，b，c為正數(shù)，且滿足acos2bsin2<c，求證：cos2sin2<.解析：由柯西不等式，得cos2sin2(cos )2(sin )2(cos2sin2) (acos2bsin2)<.5若x24y25.求xy的最大值及最大值點(diǎn)解析：由柯西不等式得x2(2y)212()2(xy)2即(xy)25，xy.當(dāng)且僅當(dāng)，即x4y時(shí)取等號(hào)由得或(舍去)xy的最大值為，最大值點(diǎn)為(2，)