二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例課時(shí)作業(yè)A組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN，且n>1)時(shí)，第一步即證下述哪個(gè)不等式成立()A1<2B1<2C1<2 D1<2解析：nN，且n>1，第一步n2，左邊1，右邊2，即1<2，應(yīng)選C.答案：C2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>成立時(shí)，起始值n0至少應(yīng)取()A7 B8C9 D10解析：1，n16，n7，故n08.答案：B3用數(shù)學(xué)歸納法證明 “Sn>1(nN)”時(shí)，S1等于()A. BC. D解析：因?yàn)镾1的首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，所以S1，故選D.答案：D4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當(dāng)“f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k<5時(shí)，均有f(k)k2成立C若f(7)<49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析：由題意設(shè)f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”因此，對于A，k1,2時(shí)不一定成立對于B，C顯然錯(cuò)誤對于D，因?yàn)閒(4)25>42，因此對于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)該命題成立解析：與“如果當(dāng)nk(kN)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)nk1時(shí)命題不成立，則當(dāng)nk(kN)時(shí)，命題也不成立”故知當(dāng)n5時(shí)，該命題不成立，可推得當(dāng)n4時(shí)該命題不成立，故選C.答案：C6觀察下列式子：1<，1<，1<，可歸納出一般性結(jié)論：_.解析：由題意得1<(nN)答案：1<(nN)7用數(shù)學(xué)歸納法證明cos cos 3cos(2n1)(kN，ak，nN)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是_答案：cos 8用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n1n2n2(nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證_答案：n1時(shí)，221212，即449證明不等式：1<2(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，命題成立，即1<2(kN)當(dāng)nk1時(shí)，左邊1<2，現(xiàn)在只需證明<2，即證：2<2k1，兩邊平方，整理得0<1，顯然成立<2成立即1<2成立當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由(1)(2)知，對于任何正整數(shù)n原不等式都成立10設(shè)Sn(nN)，設(shè)計(jì)算S1，S2，S3，并猜想Sn的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明解析：S1，S2，S3，猜想Sn(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊S1，右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，這就是說，當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由(1)(2)可知，等式Sn對nN都成立B組能力提升1觀察下列不等式：1>，1>1,1>，1>2,1>，由此猜測第n(nN)個(gè)不等式為()A1>B1>C1>D1>解析：1,3,7,15,31，的通項(xiàng)公式為an2n1，不等式左邊應(yīng)是1.，1，2，的通項(xiàng)公式為bn，不等式右邊應(yīng)是.答案：C2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“>(n>2，nN)”時(shí)的過程中，由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)，C增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)解析：當(dāng)nk時(shí)，左邊.當(dāng)nk1時(shí)，左邊.故由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式，其中證nk1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵一步是：>()>，括號中應(yīng)填的式子是_解析：由>k2，聯(lián)系不等式的形式可知，應(yīng)填k2.答案：k24設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：令x，M(ab)n，Nannan1b，(1x)n，1nx.a>0，b>0，x>0.由貝努利不等式得(1x)n>1nx.>，M>N答案：M>N5對于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，并再證明不等式：n(n1)>lg(123n)證明：猜想當(dāng)t3時(shí)，對一切正整數(shù)n使3n>n2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n1時(shí)，313>112，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，3k>k2成立，則有3kk21.對nk1,3k133k3k23k>k22(k21)>3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1>(k1)2，對nk1，命題成立由上知，當(dāng)t3時(shí)，對一切nN，命題都成立再用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)>lg(123n)當(dāng)n1時(shí)，1(11)>0lg 1，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，k(k1)>lg(123k)成立當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k2)k(k1)2(k1)>lg(123k)lg 3k1>lg(123k)lg(k1)2lg123k(k1)，命題成立由上可知，對一切正整數(shù)n，命題成立6已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a12，公比q3，Sn是它的前n項(xiàng)和求證：.證明：由已知，得Sn3n1，等價(jià)于，即3n2n1.(*)法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，(*)成立，即3k2k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)，(*)成立綜合，得3n2n1成立所以.法二：當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立當(dāng)n2時(shí)，3n(12)nCC2C22C2n12n>12n，所以(*)成立所以.