專題14 解三角形一、考綱要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題 2. 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.正弦定理是一個(gè)連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的.2.(1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用.(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時(shí)，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用.(3)重視在余弦定理中用均值不等式，實(shí)現(xiàn)a2b2，ab，ab三者的互化. 3.判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.4.解決測量角度問題的注意事項(xiàng)(1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義.(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.三、高考考題題例分析：例1.(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()A BC2 D3D解析：由余弦定理得5b42b2，解得b3或b(舍去)，故選D例2.(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_解析：在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.例3.(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.例4.(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b.解(1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cosB32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得bac2accos B(ac)2ac(1cos B)3624.所以b2.例5.（2018全國卷I）在平面四邊形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=2，求BC（2）ADC=90，cosBDC=sinADB=，DC=2，BC=5例6.（2018全國卷II）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A4BCD2解析：在ABC中，cos=，cosC=2=，BC=1，AC=5，則AB=4故選：A例7.（2018全國卷III）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c若ABC的面積為，則C=（）ABCD例8.（2018北京卷）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求AC邊上的高解析：（）ab，AB，即A是銳角，cosB=，sinB=，由正弦定理得=得sinA=，則A=例9.（2018天津卷）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知bsinA=acos（B）（）求角B的大?。唬ǎ┰O(shè)a=2，c=3，求b和sin（2AB）的值解析：（）在ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B）asinB=acos（B），即sinB=cos（B）=cosBcos+sinBsin=cosB+，tanB=，又B（0，），B=（）在ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B），得sinA=，ac，cosA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A1=，sin（2AB）=sin2AcosBcos2AsinB=例10.（2018江蘇卷）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC=120，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為解三角形練習(xí)一、 選擇題： 1在ABC中，若，則B的值為()A30B45C60D90B解析：由正弦定理知：，sin Bcos B，B45.2在ABC中，已知b40，c20，C60，則此三角形的解的情況是()A有一解B有兩解C無解D有解但解的個(gè)數(shù)不確定C解析：由正弦定理得，sin B1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在3ABC中，c，b1，B，則ABC的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰三角形或直角三角形D解析：根據(jù)余弦定理有1a233a，解得a1或a2，當(dāng)a1時(shí)，三角形ABC為等腰三角形，當(dāng)a2時(shí)，三角形ABC為直角三角形，故選D.4在ABC中，若AB，BC3，C120，則AC()A1B2C3D45在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos 2Asin A，bc2，則ABC的面積為() A BC1D2A解析：因?yàn)閏os 2Asin A，所以12sin2Asin A，則sin A(舍負(fù))，則ABC的面積為bcsin A2，故選A6如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東80D南偏西80D解析：由條件及題圖可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.7如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km Ba kmCa kmD2a kmB解析：在ABC中，ACBCa，ACB120，AB2a2a22a2cos 1203a2，ABA8如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得BCD15，BDC30，CD30 m，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于()A5 mB15 mC5 mD15 m9如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為 () A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/hB解析：設(shè)AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin ，從而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.10在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，則A的取值范圍是()A BC D11(2017山東高考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，則下列等式成立的是()Aa2bBb2aCA2BDB2AA解析：等式右邊sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin (AC)sin Acos Csin B，等式左邊sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B.由cos C>0，得sin A2sin B.根據(jù)正弦定理，得a2b.故選A12在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，則角A的取值范圍為()A BC DD解析：由題意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20.則cos A0，0A，0A.又a為最大邊，A.因此角A的取值范圍是.二、 填空題： 13如圖所示，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長為_14(2017全國卷改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C_. 解析：因?yàn)閍2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A.由A知C為銳角，故C.15在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，sin A，sin B，sin C成等差數(shù)列，且a2c，則cos A_. 16如圖3816，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C點(diǎn)測得MCA60.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.150解析：根據(jù)題圖，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)三、 解答題：17. 如圖，在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acos Cc2b.(1)求角A的大??；(2)若c，角B的平分線BD，求A解(1)2acos Cc2b，由正弦定理得2sin Acos Csin C2sin B，2sin Acos Csin C2sin(AC)2sin Acos C2cos Asin C，sin C2cos Asin Csin C0，cos A.又A(0，)，A.18(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.19如圖，航空測量組駕駛飛機(jī)飛行的航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s，某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5，求山頂?shù)暮０胃叨?取1.4，1.7) 解如圖，作CD垂直直線AB于點(diǎn)D，20如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上 (1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值21在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若tan Atan C(tan Atan C1)(1)求角B；(2)如果b2，求ABC面積的最大值解(1)tan Atan C(tan Atan C1)，即，tan(AC)，又ABC，tan B，B為三角形內(nèi)角，B.(2)在ABC中，由余弦定理得cos B，a2c2ac4，a2c22ac，ac4，當(dāng)且僅當(dāng)ac2時(shí)，等號成立，ABC的面積Sacsin B4，ABC面積的最大值為.22“德是”號飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域安排了同一條直線上的三個(gè)救援中心，如圖3817(記為B，C，D)當(dāng)返回艙在距地面1萬米的P點(diǎn)時(shí)(假定以后垂直下落，并在A點(diǎn)著陸)，C救援中心測得飛船位于其南偏東60方向，仰角為60，B救援中心測得飛船位于其南偏西30方向，仰角為30，D救援中心測得著陸點(diǎn)A位于其正東方向. (1)求B，C兩救援中心間的距離；(2)求D救援中心與著陸點(diǎn)A間的距離解(1)由題意知PAAC，PAAB，則PAC，PAB均為直角三角形在RtPAC中，PA1，PCA60，解得AC，在RtPAB中，PA1，PBA30，解得AB，又CAB90，BC萬米