2.1.1平面【選題明細(xì)表】 知識點、方法題號三種語言的轉(zhuǎn)換1,2,6公理的基本應(yīng)用3,4,5,9共點、共線、共面問題7,8,10,11,12,13基礎(chǔ)鞏固1.文字語言敘述:“平面內(nèi)有一條直線,則這條直線上的點必在這個平面內(nèi)”改成符號語言是(B)(A)a,AaA(B)a,AaA(C)a,AaA(D)a,AaA解析:直線在平面內(nèi)用“”,點在直線上和點在平面內(nèi)用“”,故選B.2.若點A在直線b上,b在平面內(nèi),則A,b,之間的關(guān)系可以記作(B)(A)Ab,b(B)Ab,b(C)Ab,b(D)Ab,b解析:點與直線是屬于關(guān)系,直線與平面是包含關(guān)系,故選B.3.下列圖形中不一定是平面圖形的是(D)(A)三角形(B)平行四邊形(C)梯形 (D)四邊相等的四邊形解析:利用公理2可知:三角形、平行四邊形、梯形一定是平面圖形,而四邊相等的四邊形不一定是平面圖形,故選D.4.(2018河北衡水校級月考)空間不共線的四點,可以確定平面的個數(shù)是(C)(A)0 (B)1(C)1或4(D)無法確定解析:四點可以確定平面的個數(shù)為1個;四點不共面,可以確定平面的個數(shù)是4,故空間不共線的四點,可以確定平面的個數(shù)是1或4個.5.如圖平面平面=直線l,點A,B,點C,Cl,直線ABl=D,過A,B,C三點確定平面,則與的交線必過(D)(A)點A (B)點B(C)點C但不過點D(D)點C和點D解析:因為C,D,且C,D,所以與的交線必過點C和D.6.把下列符號敘述所對應(yīng)的圖形的字母編號填在題后橫線上.(1)A,a;(2)=a,P且P;(3)a,a=A;(4)=a,=c,=b,abc=O.解析:考查識圖能力及“圖形語言與符號語言”相互轉(zhuǎn)化能力,要注意點線面的表示.習(xí)慣上常用大寫字母表示點,小寫字母表示線,希臘字母表示平面.答案:(1)C(2)D(3)A(4)B7.給出以下命題:和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi);三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi);有三個不同公共點的兩個平面重合;兩兩平行的三條直線確定三個平面.其中正確命題的個數(shù)是.解析:空間中和一條直線都相交的兩條直線不一定在同一平面內(nèi),故錯;若三條直線相交于一點時,不一定在同一平面內(nèi),如長方體一角的三條線,故錯;若兩平面相交時,也可有三個不同的公共點,故錯;若三條直線兩兩平行且在同一平面內(nèi),則只有一個平面,故錯.答案:08.求證:兩兩相交且不共點的四條直線a,b,c,d共面.證明:(1)無三線共點情況,如圖(1).設(shè)ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因為ad=M,所以a,d可確定一個平面.因為Nd,Qa,所以N,Q,所以NQ,即b.同理c,所以a,b,c,d共面.(2)有三線共點的情況,如圖(2).設(shè)b,c,d三線相交于點K,與a分別交于N,P,M且Ka,因為Ka,所以K和a確定一個平面,設(shè)為.因為Na,a,所以N.所以NK,即b.同理c,d.所以a,b,c,d共面.由(1),(2)知a,b,c,d共面.能力提升9.長方體的12條棱所能確定的平面?zhèn)€數(shù)為(C)(A)8(B)10(C)12(D)14解析:在長方體中由12條棱可構(gòu)成長方體的6個面和6個對角面,共12個面.10.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,這四個點不共面的一個圖是(D)解析:在A圖中分別連接PS,QR,易證PSQR,所以P,Q,R,S共面;在C圖中分別連接PQ,RS,易證PQRS,所以P,Q,R,S共面;在B圖中過P,Q,R,S可作一正六邊形,故四點共面;D圖中PS與QR為異面直線,所以四點不共面,故選D.11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分別為棱BC,C1C,B1C1的中點,O1,O2分別為四邊形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,則下列各組中的四個點在同一個平面上的是.A,C,O1,D1;D,E,G,F;A,E,F,D1;G,E,O1,O2.解析:O1是AD1的中點,所以O(shè)1在平面ACD1內(nèi),即A,C,O,D四點共面;因為E,G,F在平面BCC1B1內(nèi),D不在平面BCC1B1內(nèi),所以D,E,G,F不共面;由已知可得EFAD1,所以A,E,F,D1共面;連接GO2,交A1D1于H,則H為A1D1的中點,連接HO1,則HO1GE,所以G,E,O1,O2四點共面.答案:12.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,M,N分別是棱AA1,AB上的點,且AM=AN=1.(1)證明:M,N,C,D1四點共面;(2)平面MNCD1將此正方體分為兩部分,求這兩部分的體積之比.(1)證明:連接A1B,在四邊形A1BCD1中,A1D1BC且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1BD1C,在ABA1中,AM=AN=1,AA1=AB=3,所以AMAA1=ANAB,所以MNA1B,所以MND1C,所以M,N,C,D1四點共面.(2)解:記平面MNCD1將正方體分成兩部分的下面部分體積為V1,上面部分體積為V2,連接D1A,D1N,DN,則幾何體D1-AMN,D1-ADN,D1-CDN均為三棱錐,所以V1=VD1AMN+VD1ADN+VD1CDN=13SAMND1A1+13SADND1D+13SCDND1D=13123+13323+13923=132.從而V2=VABCDA1B1C1D1-VAMNDD1C=27-132=412,所以V1V2=1341,所以平面MNCD1分此正方體的兩部分體積的比為1341.探究創(chuàng)新13.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為2,M,N,P分別是A1B1, AD,BB1的中點.(1)畫出過M,N,P三點的平面與平面ABCD,平面BB1C1C的交線;(2)設(shè)過M,N,P三點的平面與BC交于點Q,求PQ的長.解:(1)如圖,連接MP并延長交AB的延長線于R,連接NR交BC于點Q,則NQ就是過M,N,P三點的平面與平面ABCD的交線,連接PQ,則過M,N,P三點的平面與平面BB1C1C的交線是PQ.(2)易知RtMPB1RtRPB,所以MB1=RB=1.因為BQAN,所以BQRANR,所以BQAN=RBRA=11+2,可得BQ=13.在RtPBQ中,PQ=BQ2+PB2=132+12=103.