三 直線的參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程(1)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)為(t為參數(shù))(2)由為直線的傾斜角知 0，)時(shí)，sin 0.2直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義參數(shù)t的絕對(duì)值表示參數(shù)t所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離 (1)當(dāng)M0M與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，t取正數(shù)(2)當(dāng)M0M與e反向時(shí)，t取負(fù)數(shù)(3)當(dāng)M與M0重合時(shí)，t.直線的參數(shù)方程例1已知直線l：(t為參數(shù))(1)分別求t0,2，2時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(x，y)；(2)求直線l的傾斜角；(3)求直線l上的點(diǎn)M(3，0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t，并說(shuō)明t的幾何意義思路點(diǎn)撥(1)直接代入t的值求解；(2)把直線的參數(shù)方程化為普通方程求傾斜角或把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式求傾斜角；(3)利用參數(shù)t的幾何意義，即M0Mte求解解(1)由直線l：(t為參數(shù))知，當(dāng)t0,2，2時(shí)，分別對(duì)應(yīng)直線l上的點(diǎn)(，2)，(0,3)，(2，1)(2)法一：把直線l：(t為參數(shù))化為普通方程為y2(x)，設(shè)直線l的傾斜角為，則ktan (0<)，解得.故直線l的傾斜角為.法二：易知直線l：(t為參數(shù))，則直線l過(guò)定點(diǎn)M0(，2)，且傾斜角為，故直線l的傾斜角為.(3)由(2)可知直線l的單位向量e，且M0(，2)，又已知M(3，0)，所以M0M(2，2)44e，所以點(diǎn)M(3，0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t4，幾何意義為|M0M|4，且M0M與e方向相反理解并掌握直線參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，弄清參數(shù)t的幾何意義，即直線上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離等于參數(shù)t的絕對(duì)值是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵1直線(t為參數(shù))的傾斜角為()A.B.C. D.解析：選B因?yàn)樗砸驗(yàn)?，)，所以.2一直線過(guò)P0(3,4)，傾斜角，求此直線與直線3x2y6的交點(diǎn)M與P0之間的距離解：設(shè)直線的參數(shù)方程為將它代入已知直線3x2y60，得326，解得t，|MP0|t|.直線的參數(shù)方程的應(yīng)用例2已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y22x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求：(1)P，M兩點(diǎn)間的距離|PM|；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)，線段AB的長(zhǎng)|AB|.思路點(diǎn)撥首先由參數(shù)方程的概念求出直線l的參數(shù)方程，然后再利用參數(shù)的幾何意義求解解(1)因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P(2,0)，斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則tan ，cos ，sin ，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))因?yàn)橹本€l和拋物線相交，將直線l的參數(shù)方程代入拋物線y22x中，整理得8t215t500.因?yàn)?15)24850>0，所以設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)實(shí)根為t1，t2.則t1t2，t1t2，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，根據(jù)t的幾何意義，所以|PM|.(2)因?yàn)橹悬c(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為tM，將此值代入直線l的參數(shù)方程，得點(diǎn)M坐標(biāo)為即M，|AB|t2t1|.求解直線與圓或圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)時(shí)，不必求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義即可求得結(jié)果，與常規(guī)方法相比較，較為簡(jiǎn)捷3直線l通過(guò)P0(4,0)，傾斜角，l與圓x2y27相交于A，B兩點(diǎn)(1)求弦長(zhǎng)|AB|；(2)求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)直線l通過(guò)P0(4,0)，傾斜角，直線l的參數(shù)方程為代入圓方程，得227.整理得t24t90.設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別t1和t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t24，t1t29，|AB|t2t1|2.(2)解得t13，t2，代入直線參數(shù)方程得A點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo).4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為sin.(1)求C的普通方程和l的傾斜角；(2)設(shè)點(diǎn)P(0,2)，l和C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|PB|.解：(1)由消去參數(shù)，得y21，即C的普通方程為y21.由sin得sin cos 2，(*)將代入(*)，化簡(jiǎn)得yx2.所以直線l的傾斜角為.(2)易知點(diǎn)P(0,2)在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))，代入y21并化簡(jiǎn)，得5t218t270，(18)24527108>0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2<0，t1t2>0，所以t1<0，t2<0，所以|PA|PB|t1|t2|(t1t2).一、選擇題1直線(t為參數(shù))的傾斜角為()A70 B10C160 D140解析：選B將直線的參數(shù)方程化為(t為參數(shù))，故其傾斜角為10，故選B.2直線(t為參數(shù))的斜率為()A BC. D.解析：選A直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為y1(x3)，則直線的斜率k.3若直線(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切，那么直線傾斜角為()A. B.C. D.或解析：選D直線可化為tan ，即ytan x，圓方程可化為(x4)2y24，由2tan2，tan ，又0，)，或.4下列可以作為直線2xy10的參數(shù)方程的是()A.(t為參數(shù)) B.(t為參數(shù))C.(t為參數(shù)) D.(t為參數(shù))解析：選C直線2xy10經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)，斜率k2，可得直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))直線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,5)，相應(yīng)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))二、填空題5已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，則它的普通方程是_解析：由直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，消去參數(shù)t整理得3x4y50.答案：3x4y506直線上與點(diǎn)A(2,3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析：設(shè)P(2t,3t)是直線上滿足條件的點(diǎn)，則(t)2(t)2()2，t2，t，則P(3,4)或(1,2)答案：(3,4)或(1,2)7設(shè)直線的參數(shù)方程為點(diǎn)P在直線上，且與點(diǎn)M0(4,0)的距離為，若該直線的參數(shù)方程改寫成(t為參數(shù))，則在這個(gè)方程中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的t值為_解析：由|PM0|知，t，代入第一個(gè)參數(shù)方程，得點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為(3,1)或(5，1)，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入第二個(gè)參數(shù)方程可得t1或t1.答案：1三、解答題8設(shè)直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求直線的普通方程；(2)將參數(shù)方程的一般形式化為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式解：(1)把t代入y104t，得y10，化簡(jiǎn)得4x3y500，所以直線的普通方程為4x3y500.(2)把參數(shù)方程變形為令t5t，即有(t為參數(shù))為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式9極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的單位長(zhǎng)度，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin28cos .(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|.解：(1)由sin28cos ，得2sin28cos ，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y28x.(2)將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，代入y28x，并整理得3t216t640，則t1t2，t1t2，所以|AB|t1t2|.10經(jīng)過(guò)P(2,3)作直線交拋物線y28x于A，B兩點(diǎn)(1)若線段AB被P平分，求AB所在直線方程；(2)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求|AB|.解：設(shè)AB的參數(shù)方程是(t為參數(shù))代入拋物線方程，整理得t2sin2(6sin 8cos )t70.于是t1t2，t1t2.(1)若P為AB的中點(diǎn)，則t1t20.即6sin 8cos 0tan .故AB所在的直線方程為y3(x2)即4x3y10.(2)|AB|t1t2| .又，|AB| 8.