26.2求曲線的方程在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，3)，(4，1)問(wèn)題1：求平面上任一點(diǎn)M(x，y)到A點(diǎn)的距離提示：MA.問(wèn)題2：試列出到點(diǎn)A、B距離相等的點(diǎn)滿(mǎn)足的方程提示：MAMB，即. 求曲線方程的一般步驟正確認(rèn)識(shí)求曲線方程的一般步驟：(1)“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”所謂“適當(dāng)”是指若曲線是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則可以選它的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸；其次，可以選曲線上的特殊點(diǎn)作為原點(diǎn)(2)“設(shè)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)”這一步實(shí)際上是在挖掘形成曲線的條件中所含的等量關(guān)系 (3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)0.”這里就是等量關(guān)系的坐標(biāo)化，完成這一步需要使用解析幾何的基本公式及平面幾何、三角等基礎(chǔ)知識(shí)(4)“化方程f(x，y)0為最簡(jiǎn)形式”化簡(jiǎn)時(shí)需要使用代數(shù)中的恒等變形的方法(5)“說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一步的證明是必要的從教材內(nèi)容看，這一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步時(shí)，所用的變形方法應(yīng)都是可逆的，否則要作適當(dāng)說(shuō)明直接法求曲線方程例1ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差數(shù)列，AB2，求頂點(diǎn)C的軌跡方程思路點(diǎn)撥由a，c，b成等差數(shù)列可得ab2c；由a>c>b可知所求軌跡方程是整個(gè)軌跡方程的一部分；由AB2可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系于是可按求曲線方程的一般步驟求解. 精解詳析以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(1,0)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由已知得ACBC2AB.即 4，整理化簡(jiǎn)得3x24y2120，即1.又a>c>b，x<0且x2.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為1(x<0且x2)一點(diǎn)通1“直接法”求曲線方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟，在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步，即：建系、設(shè)點(diǎn)根據(jù)條件列方程化簡(jiǎn)；2其中“建系”是指建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系所謂“適當(dāng)”應(yīng)使計(jì)算量較小，且所得的方程形式較簡(jiǎn)單若坐標(biāo)系建立不當(dāng)，計(jì)算量就會(huì)大大增加，有時(shí)很可能得不到正確的結(jié)果1若將本例已知條件“a>c>b且a，c，b成等差數(shù)列”改為“ABC的周長(zhǎng)為6且AB2”，求頂點(diǎn)C的軌跡方程解：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則A(1,0)，B(1,0)，設(shè)C(x，y)，由已知得ACBCAB6.即4.化簡(jiǎn)整理得3x24y2120，即1.A、B、C三點(diǎn)不能共線，x2.綜上，點(diǎn)C的軌跡方程為1(x2)2已知三點(diǎn)O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x，y)滿(mǎn)足| |()2.求曲線C的方程解：由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，又()(x，y)(0,2)2y，由已知得 2y2，化簡(jiǎn)得曲線C的方程是x24y.定義法求曲線方程例2已知圓A：(x2)2y21與定直線l：x1，且動(dòng)圓P和圓A外切并與直線l相切，求動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程思路點(diǎn)撥利用平面幾何的知識(shí)，分析點(diǎn)P滿(mǎn)足的條件為拋物線，可用定義法求解精解詳析如圖，作PK垂直于直線x1，垂足為K，PQ垂直于直線x2，垂足為Q，則KQ1，所以PQr1，又APr1，所以APPQ，故點(diǎn)P到圓心A(2,0)的距離和到定直線x2的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線，A(2,0)為焦點(diǎn)，直線x2為準(zhǔn)線2，p4，點(diǎn)P的軌跡方程為y28x.一點(diǎn)通若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿(mǎn)足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡的方法稱(chēng)為定義法，利用定義法求軌跡要善于抓住曲線的定義的特征3點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x8的距離的比是12，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形解：設(shè)d是點(diǎn)F到直線x8的距離，根據(jù)題意，得.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)，x8為準(zhǔn)線的橢圓，則解得b2a2c216412.故點(diǎn)P的軌跡方程為1.4.如圖所示，已知點(diǎn)C為圓(x)2y24的圓心，點(diǎn)A(，0)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且0，2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程解：圓(x)2y24的圓心為C(，0)，半徑r2，0，2，MQAP，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，即QM垂直平分AP.連結(jié)AQ, 則AQQP，|QCQA|QCQP|CPr2.又|AC|22，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，由c，a1，得b21，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2y21.代入法求曲線方程例3動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2y21上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程思路點(diǎn)撥設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，用M的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，再借助M滿(mǎn)足的關(guān)系即可得到P的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的關(guān)系精解詳析設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，P為MB的中點(diǎn)，即又M在曲線x2y21上，(2x3)2(2y)21.P點(diǎn)的軌跡方程為(2x3)24y21.一點(diǎn)通代入法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)具體地說(shuō)，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)，并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足的曲線方程，由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡方程5已知圓C的方程為x2y24，過(guò)圓C上的一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)直線m與y軸的交點(diǎn)為N，若，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)(y00)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，y0)因?yàn)椋?x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，則x0x，y0.又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上，所以xy4.即x24(y0)所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是1(y0)6已知曲線C：y2x1，定點(diǎn)A(3,1)，B為曲線C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BPPA12，當(dāng)B點(diǎn)在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由BPPA12，得2，即(3x,1y)2(xx0，yy0)點(diǎn)B(x0，y0)在曲線y2x1上，21.化簡(jiǎn)得：2.即點(diǎn)P的軌跡方程為2.1求曲線的方程時(shí)，若題設(shè)條件中無(wú)坐標(biāo)系，則需要恰當(dāng)建系，要遵循垂直性和對(duì)稱(chēng)性的原則，即借助圖形中互相垂直的直線建系，借助圖形的對(duì)稱(chēng)性建系一方面讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，另一方面能使求出的軌跡方程形式簡(jiǎn)捷2求曲線的方程常用的方法(1)直接法；(2)定義法；(3)相關(guān)點(diǎn)代入法；(4)待定系數(shù)法等對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十六) 1到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是_解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，到兩坐標(biāo)軸的距離為|x|，|y|.則|x|y|，x2y2.答案：x2y22等腰三角形底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是B(2,1)，C(0，3)，則另一頂點(diǎn)A的軌跡方程是_解析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)由已知得ABAC，即.化簡(jiǎn)得 x2y10.點(diǎn)A不能在直線BC上，x1，頂點(diǎn)A的軌跡方程為x2y10(x1)答案：x2y10(x1)3已知兩定點(diǎn)A(1,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則P點(diǎn)的軌跡方程是_解析：設(shè)P(x，y)，由已知得，化簡(jiǎn)得：x24xy20.即(x2)2y24.答案：(x2)2y244已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA2PB，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于_解析：設(shè)P(x，y)，由題知(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圓的面積為4.答案：45已知直線l：2x4y30，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q分線段OP為12兩部分，則Q點(diǎn)的軌跡方程是_解析：據(jù)題意，3，設(shè)P(x，y)，Q(x，y)，則又P(x，y)在2x4y30上，2(3x)4(3y)30，即2x4y10，即點(diǎn)Q的軌跡方程為2x4y10.答案：2x4y106若動(dòng)點(diǎn)P在曲線y2x21上移動(dòng)，求點(diǎn)P與Q(0，1)連線中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)P(x0，y0)，中點(diǎn)M(x，y)，則又P(x0，y0)在曲線y2x21上，2y12(2x)21，即y4x2.點(diǎn)M的軌跡方程為y4x2.7已知雙曲線2x22y21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P為動(dòng)點(diǎn)，若PF1PF26，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程解：依題意雙曲線方程可化為1，則F1F22.PF1PF26>F1F22，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其方程可設(shè)為1(a>b>0)由2a6,2c2得a3，c1.b2a2c28.則所求橢圓方程為1.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為1.8.如圖所示，A(m，m)和B(n，n)兩點(diǎn)分別在射線OS，OT上移動(dòng)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足.(1)求mn的值；(2)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？解：(1)由(m，m)(n，n)2mn.得2mn，即mn.(2)設(shè)P(x，y)(x>0)，由，得(x，y)(m，m)(n，n)(mn，mn)，整理得x24mn，又mn，P點(diǎn)的軌跡方程為x21(x>0)它表示以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為4的雙曲線x21的右支